Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kx
∗
− x
∗
n
k 6 τkBk(1 − q)
−1
ky − Ax
∗
n
k, (9.39
0
)
ky − Ax
∗
n
k 6
1
1 − p
n
(ky − y
n
k + p
n
kyk), p
n
=
τkBk
1 − q
kA − A
n
k < 1.
A
kA
−1
k 6 τkBk(1 − q)
−1
A
n
p
n
< 1 kA
−1
n
k 6 τkBk(1−q)
−1
(1−p
n
)
−1
x
∗
n
= A
−1
n
y
n
→ x
∗
= A
−1
y n → ∞
§ (9.39
0
).
x
0
n
= x
∗
n
(9.39), (9.39
0
) (9.38). (9.40)
(9.39).
x
j+1
n
= x
j
n
+ τB
n
(y
n
− A
n
x
j
n
), x
0
n
= τB
n
y
n
, j = 0, 1, . . . , (9.41)
τ = τ(j, n, A
n
, B
n
) > 0 B
n
: Y
n
−→ X
n
A : X −→ Y
ky
n
− yk → 0 n → ∞ ε
n
≡ kA
n
− Ak → 0 A
n
− A : X
n
−→ Y
n → ∞
B
n
: Y
n
−→ X
n
τ > 0
q
n
≡ kE − τB
n
A
n
k 6 q < 1.
â òî âðåìÿ êàê

                   kx∗ − x∗n k 6 τ kBk(1 − q)−1 ky − Ax∗n k,                  (9.390 )
                    1                              τ kBk
   ky − Ax∗n k 6        (ky − yn k + pn kyk), pn =       kA − An k < 1.
                 1 − pn                             1−q
      Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó óñëîâèé à) è á) îïåðàòîð A íåïðåðûâíî
îáðàòèì è kA−1 k 6 τ kBk(1 − q)−1 . Îòñþäà è èç óñëîâèÿ á) ñëåäóåò (ñì.,
íàïð., òåîðåìó 4.1) ëèíåéíàÿ îáðàòèìîñòü îïåðàòîðîâ An õîòÿ áû ïðè
pn < 1 è kA−1                 −1         −1
            n k 6 τ kBk(1−q) (1−pn ) . Òîãäà ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ
(9.36) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû è x∗n = A−1             ∗     −1
                                            n yn → x = A y , n → ∞ , à
â ñèëó § 5 ñïðàâåäëèâû îöåíêè (9.390 ). Òåïåðü ÿñíî, ÷òî èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ (9.37) ïðè x0n = x∗n èìååò ñìûñë. Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ á) ëåãêî
íàõîäèì îöåíêó (9.39), îòêóäà è èç (9.390 ) ñëåäóåò (9.38). Îöåíêè (9.40)
âûâîäÿòñÿ èç (9.39). Òåîðåìà äîêàçàíà.

              9.5. Àïïðîêñèìàòèâíî-èòåðàöèîííûé ìåòîä
                     ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

      ýòîì ïóíêòå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. Â îñíîâå
èññëåäîâàíèÿ ëåæèò óíèâåðñàëüíûé èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ êîíå÷-
íîìåðíîãî óðàâíåíèÿ (9.36):

    xj+1
     n   = xjn + τ Bn (yn − An xjn ),   x0n = τ Bn yn ,   j = 0, 1, . . . ,   (9.41)

ãäå τ = τ (j, n, An , Bn ) > 0 è Bn : Yn −→ Xn  ïîäëåæàùèå îïðåäåëå-
íèþ èòåðàöèîííûé ïàðàìåòð è ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð ñîîòâåò-
ñòâåííî.

     Òåîðåìà 9.9. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) îïåðàòîð A : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì;
     á) kyn − yk → 0 , n → ∞ è εn ≡ kAn − Ak → 0 , An − A : Xn −→ Y ,
n → ∞;
     â) ñóùåñòâóþò òàêèå ëèíåéíûå îïåðàòîðû Bn : Yn −→ Xn è ïà-
ðàìåòð τ > 0 , ÷òî

                        qn ≡ kE − τ Bn An k 6 q < 1.

Страницы