Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kE−τBAk 6 q < 1.
A kA
−1
k 6 τkBk (1− p)
−1
.
kx
∗
− x
∗
n
k 6 τkBk(1 − q)
−1
(1 − γ
n
)
−1
{ky
n
− yk + γ
n
kyk}. (9.54)
kx
∗
− x
j
n
k 6
τ
1 − q
½
q
j+1
kB
n
y
n
k +
kBk
1 − γ
n
(ky
n
− yk + γ
n
kyk)
¾
. (9.55)
B
n
τ = τ
n
9.9
B
n
: Y
n
−→ X
n
τ > 0
9.9, (9.41)
(9.42) (9.44).
C
n
: X
n
−→ Y
n
α = α(n) = kA
−1
n
k kA
n
− C
n
k < 1/2.
C
n
C
−1
n
= A
−1
n
+ ∆
n
, ∆
n
=
∞
X
j=1
(A
−1
n
δ
n
)
j
A
−1
n
, δ
n
= A
n
− C
n
. (9.57)
B
n
= C
−1
n
x
j+1
n
= x
j
n
+ τ(y
n
− C
−1
n
A
n
x
j
n
), x
0
n
= τC
−1
n
y
n
, j = 0, 1, . . . . (9.41
0
)
x
0
n
= τC
−1
n
y
n
x
∗
n
= A
−1
n
y
n
kE − τC
−1
n
A
n
k < 1
τ > 0
q
n
= kE − τC
−1
n
A
n
k = k(1 − τ)E − τ∆
n
A
n
k 6 1 − τ + τα(1 − α)
−1
< 1.
      Èç óñëîâèé á) è â) ñëåäóåò îöåíêà kE −τ BAk 6 q < 1. Ïîýòîìó â ñè-
ëó óñëîâèÿ à) îïåðàòîð A íåïðåðûâíî îáðàòèì è kA−1 k 6 τ kBk (1− p)−1 .
Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà

     kx∗ − x∗n k 6 τ kBk(1 − q)−1 (1 − γn )−1 {kyn − yk + γn kyk}.                    (9.54)

     Èç (9.53) è (9.54) ñëåäóåò îöåíêà
                          ½                                              ¾
                 τ                              kBk
  kx∗ − xjn k 6               q j+1 kBn yn k +        (kyn − yk + γn kyk) .           (9.55)
                1−q                            1 − γn
Äàëüøå èç (9.55) ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
     Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîðû Bn è èòåðàöèîííûå ïàðàìåòðû
τ = τn , î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü â òåîðåìàõ 9.9 è 9.10, ñóùåñòâóþò.
     Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 9.11. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ à) è á) òåîðåìû 9.9 . Òî-
ãäà ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû Bn : Yn −→ Xn òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ τ > 0
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå â) òåîðåìû 9.9, è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (9.41) ñõî-
äèòñÿ â ñìûñëå (9.42)  (9.44).
      Äîêàçàòåëüñòâî.       Î÷åâèäíî,  ÷òî    ñóùåñòâóåò   îïåðàòîð
Cn : Xn −→ Yn òàêîé, ÷òî

                       α = α(n) = kA−1
                                    n k kAn − Cn k < 1/2.

ßñíî, ÷òî îïåðàòîðû Cn ëèíåéíî îáðàòèìû è
                                    ∞
                                    X
    Cn−1   =   A−1
                n    + ∆n ,    ∆n =   (A−1    j −1
                                        n δn ) A n ,            δn = An − Cn .        (9.57)
                                      j=1

 (9.41) ïîëîæèì Bn = Cn−1 . Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.1) ïîëó÷àåì
îäíó èç ñõåì àïïðîêñèìàòèâíî-èòåðàöèîííîãî ìåòîäà:

   xj+1
    n   = xjn + τ (yn − Cn−1 An xjn ),      x0n = τ Cn−1 yn ,     j = 0, 1, . . . .   (9.410 )

Çäåñü ýëåìåíò x0n = τ Cn−1 yn ÿâëÿåòñÿ ëèøü ãðóáûì ïðèáëèæåíèåì
ê x∗n = A−1  n yn , èñõîäÿ èç êîòîðîãî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (9.41) ïðèâî-
äèò ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (9.36), åñëè òîëüêî
kE − τ Cn−1 An k < 1 . Ýòî íåðàâåíñòâî, à òåì ñàìûì è óñëîâèå òåîðåìû 9.9,
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáûõ τ > 0 , òàê êàê â ñèëó (9.56) è (9.57) èìååì

 qn = kE − τ Cn−1 An k = k(1 − τ )E − τ ∆n An k 6 1 − τ + τ α(1 − α)−1 < 1.

Страницы