Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n ∈ N
(10.2
∗
)
γ {Y
n
}
∞
1
, Y
n
= AX
n
⊂
Y, Y
y − Ax
∗
n
= y −
n
X
k=1
α
∗
k
Aϕ
k
→ 0, n → ∞, (10.7)
Y x
n
∈ X
n
ky − Ax
∗
n
k = E
ψ
n
(y) 6 ky − Ax
n
k, n ∈ N. (10.8)
α Y
β A ∈ L(X, Y )
A
−1
∈ L(Y, X);
γ {Y
n
}
∞
1
Y
n
= AX
n
⊂
Y Y.
(10.2
∗
)
y ∈ Y n ∈ N x
∗
= A
−1
y
X
kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 kA
−1
k
Y −→X
E
ψ
n
(y), n ∈ N. (10.9)
α Y
β A ∈ L(X, Y )
A
−1
∈ L(Y, X);
γ {X
n
}
∞
1
X
n
⊂ X,
dim X
n
= n ∈ N, X
y ∈ Y n ∈ N
(10.2
∗
) x
∗
n
x
∗
= A
−1
y (10.1) X
x
∗
n
≈ x
∗
, n ∈ N,
E
n
(x
∗
)
X
6 kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 η(A) E
n
(x
∗
)
X
, n ∈ N, (10.10)
     Òîãäà ïðè âñåõ n ∈ N ïîñòàâëåííàÿ âûøå çàäà÷à èìååò åäèíñòâåí-
íîå ðåøåíèå (10.2∗ ) . Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå
      γ ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ {Yn }∞  1 , ãäå Yn = AXn ⊂
Y, ïðåäåëüíî ïëîòíà â ïðîñòðàíñòâå Y ,
òî ðàññìàòðèâàåìûé ìåòîä ñõîäèòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî íåâÿçêà
                                Xn
                        ∗
                 y − Axn = y −     αk∗ Aϕk → 0, n → ∞,            (10.7)
                                k=1
â ïðîñòðàíñòâå Y , ïðè÷åì äëÿ ëþáûõ xn ∈ Xn
               ky − Ax∗n k = Enψ (y) 6 ky − Axn k,    n ∈ N.      (10.8)

     Òåîðåìà 10.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
      α ) Y  ñòðîãî íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî èëè æå èìååò âû-
ïóêëóþ ñôåðó;
      β ) ëèíåéíûé îïåðàòîð A ∈ L(X, Y ) èìååò íåïðåðûâíûé îáðàòíûé
A−1 ∈ L(Y, X);
      γ ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ {Yn }∞1 , ãäå Yn = AXn ⊂
Y , ïðåäåëüíî ïëîòíà â ïðîñòðàíñòâå Y.
      Òîãäà ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ (10.2∗ ) ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû
ïðè ëþáûõ y ∈ Y è n ∈ N , îíè ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x∗ = A−1 y
â ïðîñòðàíñòâå X , ïðè÷åì
               kx∗ − x∗n kX 6 kA−1 kY −→X Enψ (y),    n ∈ N.      (10.9)

     Òåîðåìà 10.3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     α ) Y  ñòðîãî íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî èëè æå èìååò âû-
ïóêëóþ ñôåðó;
     β ) íåïðåðûâíûé îïåðàòîð A ∈ L(X, Y ) èìååò íåïðåðûâíûé îáðàò-
íûé A−1 ∈ L(Y, X);
     γ ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn }∞    1  ïîäïðîñòðàíñòâ Xn ⊂ X,
dim Xn = n ∈ N, ïðåäåëüíî ïëîòíà â ïðîñòðàíñòâå X .
     Òîãäà ïðè ëþáûõ y ∈ Y è n ∈ N ïîñòàâëåííàÿ âûøå çàäà÷à èìå-
åò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (10.2∗ ) . Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ x∗n ñõîäÿòñÿ
ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x∗ = A−1 y óðàâíåíèÿ (10.1) â ïðîñòðàíñòâå X ,
ïðè÷åì äëÿ ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîé ôîðìóëû x∗n ≈ x∗ , n ∈ N, ñïðà-
âåäëèâû îöåíêè
        En (x∗ )X 6 kx∗ − x∗n kX 6 η(A) En (x∗ )X ,   n ∈ N,     (10.10)

Страницы