Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(10.15)
α
∗
1
, α
∗
2
, . . . , α
∗
n
∈ C n m ∈ N x
n
∈ X
n
σ
nm
≡
(
m
X
l=1
B
l
|y(t
l
) − A(x
∗
n
; t
l
)|
2
)
1/2
6
(
m
X
l=1
B
l
|A(x
∗
− x
n
; t
l
)|
2
)
1/2
,
(10.16)
σ
n∞
≡
½
Z
b
a
ρ(t) |y(t) − A(x
∗
n
; t)|
2
dt
¾
1/2
6
½
Z
b
a
ρ(t) |A(x
∗
− x
n
; t)|
2
dt
¾
1/2
,
(10.17)
n, m ∈ N.
A : X −→ C[a, b]
{X
n
}
∞
1
X
n → ∞
σ
nm
6
b
Z
a
ρ(t) dt · kAk
X→C
· E
n
(x
∗
)
X
(n, m ∈ N). (10.18)
(
m
X
l=1
B
l
|A(x; t
l
)|
2
)
1/2
> M kxk
X
, x ∈ X, (10.19)
M > 0 x ∈ X,
n → ∞ X m ∈ N
k
x
∗
−
x
∗
n
k
X
6
b
R
a
ρ(t) dt
M
k
A
k
X→C
E
n
(
x
∗
)
X
, n
∈
N
.
(10
.
20)
A(x
n
; t
l
) y(t
l
),
l = 1, m,
          Òîãäà          ÑËÀÓ         (10.15)         èìååò   åäèíñòâåííîå         ðåøåíèå
α1∗ , α2∗ , . . . , αn∗ ∈ C ïðè ëþáûõ n è m ∈ N , ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî xn ∈ Xn
ñïðàâåäëèâû îöåíêè
                 ( m                                 )1/2 ( m                        )1/2
                    X                                       X
    σnm ≡                Bl |y(tl ) − A(x∗n ; tl )|2     6    Bl |A(x∗ − xn ; tl )|2      ,
                  l=1                                                l=1
                                                                                                         (10.16)
         ½Z       b                                      ¾1/2       ½Z       b                             ¾1/2
σn∞ ≡                 ρ(t) |y(t) − A(x∗n ; t)|2 dt              6                ρ(t) |A(x∗ − xn ; t)|2 dt      ,
              a                                                          a
                                                                                                        (10.17)
ãäå n, m ∈ N.

      Ñëåäñòâèå. Ïóñòü îïåðàòîð A : X −→ C[a, b] îãðàíè÷åí, à
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ {Xn }∞
                                       1 ïðåäåëüíî ïëîòíà â ïðî-
ñòðàíñòâå X . Òîãäà â óñëîâèÿõ òåîðåìû íåâÿçêà ðàññìàòðèâàåìîãî
ìåòîäà ñõîäèòñÿ ïðè n → ∞ , ïðè÷åì
                          Zb
           σnm 6               ρ(t) dt · kAkX→C · En (x∗ )X                  (n, m ∈ N).                (10.18)
                          a

Åñëè, êðîìå òîãî,
              ( m                                      )1/2
                X
                                     Bl |A(x; tl )|2          > M kxkX ,             x ∈ X,             (10.19)
                               l=1

ãäå ïîñòîÿííàÿ M > 0 íå çàâèñèò îò x ∈ X, òî ìåòîä ñõîäèòñÿ ïðè
n → ∞ â ïðîñòðàíñòâå X , ïðè÷åì ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî m ∈ N
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
                                       Rb
                                            ρ(t) dt
                                        a
          kx∗ − x∗n kX 6                              kAkX→C En (x∗ )X ,             n ∈ N.             (10.20)
                                             M
      Çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå âûøå ðåçóëüòàòû (îñîáåííî ñîîòíîøåíèÿ
(10.12)(10.17)) âåñüìà óäîáíû äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé; ïðè ýòîì
âìåñòî (10.12) ÷àñòî äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü, ÷òîáû ÷èñëà A(xn ; tl ) è y(tl ),
l = 1, m, èìåëè ñìûñë.

Страницы