Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y ∈ H,
kx
∗
k 6
kyk
m
. (11.2)
11.2.
11.1
x
∗
∈ H (11.1)
x
k
= x
k−1
+
m
M
2
(y − Ax
k−1
); k = 1, 2, . . . , (11.3)
x
0
∈ H k
x
∗
− x
k
kx
∗
− x
k
k 6 q
k
kx
∗
− x
0
k 6
q
k
1 − q
kx
1
− x
0
k, k ∈ N, (11.4)
q =
r
1 −
³
m
M
´
2
< 1; (11.5)
x
0
=
m
M
2
y
kx
∗
− x
k
k 6
q
k+1
1 − q
m
M
2
kyk (k = 0, 1, . . .), (11.6)
m M
A
H, (11.3)
x
k
= x
k−1
+
2
M + m
(y − Ax
k−1
); k = 1, 2, . . . , (11.3
0
)
q
0
=
M − m
M + m
< 1 (11.5
0
)
x
0
∈ H.
y ∈ H, ïðè÷åì
                                                    kyk
                                         kx∗ k 6        .                     (11.2)
                                                     m

                11.2. Óíèâåðñàëüíûé èòåðàöèîííûé ìåòîä

      Òåîðåìà 11.2. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 11.1 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
x∗ ∈ H óðàâíåíèÿ (11.1) ìîæíî íàéòè óíèâåðñàëüíûì èòåðàöèîííûì
ìåòîäîì
                         m
             xk = xk−1 + 2 (y − Axk−1 ); k = 1, 2, . . . , (11.3)
                         M
ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè x0 ∈ H . Ïîãðåøíîñòü k ãî ïðè-
áëèæåíèÿ x∗ − xk ìîæåò áûòü îöåíåíà íåðàâåíñòâàìè

          ∗     k       k       ∗qk      0
        kx − x k 6 q kx − x k 6     kx1 − x0 k,                  k ∈ N,       (11.4)
                                1−q
ãäå                                      r        ³ m ´2
                                     < 1;
                                    q=       1−                               (11.5)
                                M
                                                                           m
åñëè æå çà íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå áåðåòñÿ ýëåìåíò x0 =                      M2 y ,   òî
ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü îöåíåíà òàêæå íåðàâåíñòâîì

                    ∗       q k+1 m
                            k
                 kx − x k 6          kyk (k = 0, 1, . . .),                   (11.6)
                            1 − q M2
ãäå ïîñòîÿííûå m è M îïðåäåëåíû â óñëîâèÿõ II è I ñîîòâåòñòâåííî.

      Çàìå÷àíèå 11.1. Åñëè A  ñàìîñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî îïðå-
äåëåííûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H, òî íàðÿäó ñ (11.3)
ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òàêæå èòåðàöèîííûì ìåòîäîì
                                      2
              xk = xk−1 +                (y − Axk−1 ); k = 1, 2, . . . ,      (11.30 )
                                    M +m
êîòîðûé ñõîäèòñÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì
                                             M −m
                                      q0 =        <1                          (11.50 )
                                             M +m
ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè x0 ∈ H.

Страницы