Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

23
что для всех х, лежащих между а-δ<x<δ+a выполняемо
неравенство f(x)-b<ε. для любого
0
ε
>
Будем писать
bxf
ax
=
→
)(
lim
. Существуют
следующие теоремы предельного перехода:
Теорема 1: Если
bxf
ax
=
→
)(
lim
и cx
ax
=
→
)(
lim
ϕ
, то
cbxxfxxf
axaxax
+
=
+
=
+
→→→
)(
lim
)(
lim
))()((
lim
ϕ
ϕ
.
Теорема 2: Если
bxf
ax
=
→
)(
lim
, cx
ax
=
→
)(
lim
ϕ
, то
cbxxfxxf
axaxax
⋅
=
⋅
=
⋅
→→→
)(
lim
)(
lim
))()((
lim
ϕ
ϕ
.
Теорема 3: Если
bxf
ax
=
→
)(
lim
, cx
ax
=
→
)(
lim
ϕ
(
причем с≠0), то
c
b
x
xf
x
xf
ax
ax
ax
==
→
→
→
)(
lim
)(
lim
)(
)(
lim
ϕϕ
.
Теорема 4: Если
bxf
ax
=
→
)(
lim
,
bx
ax
=
→
)(
lim
ϕ
и если
задана третья функция ψ(х), удовлетворяющая для всех х,
лежащих в некоторой окрестности точки а, условию
)()()( xxxf
ψ
ϕ
≤≤ , то функция ψ(х) при х→а также имеет
предел, и этот предел равен в.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1: Найти предел функции
43
23
−+= xxy при ↔ х→2
)4(
lim
3
limlim
)43(
lim
2
2
2
3
2
23
2
−++=−+
→→→→ xxxx
xxxx . Для
разыскания пределов функций
23
3 и xx применим
теорему о пределе произведения
8222
limlimlimlim
222
3
2
=⋅⋅=⋅⋅=
→→→→
xxxx
xxxx
.
24
Аналогично,
2
2
12
lim3
x
x
→
=
. Итак. функция
43
23
−+ xx имеет предел при х→2;
164128)43(
lim
23
2
=−+=−+
→
xx
x
.
Пример 2: Найти предел функции
9
65
2
2
−
+−
=
x
xx
y
при x
0→
Непосредственное применение теоремы о пределе
частного здесь недопустимо, так как предел знаменателя
равен нулю. Поэтому нахождение предела этой дроби
сводится к раскрытию неопределенности типа
0
0
. Для её
раскрытия преобразуем дробь, разложив числитель и
знаменатель на множители:
)3)(3(
)3)(2(
9
65
2
2
+−
−−
=
−
+−
=
xx
xx
x
xx
y
.
Сократим дробь на
х-3, т.е.
6
1
3
2
lim
)3)(3(
)3)(2(
lim
9
65
lim
33
2
2
3
=
+
−
=
+−
−−
=
−
+−
→→→
x
x
xx
xx
x
xx
xxx
Таким же приемом можно найти предел любой
дроби, в числителе и знаменателе которых стоят
многочлены, стремящиеся к нулю при х→а.
Пример 3: Рассмотрим функцию
x
x
y
33 −+
= и
найдем её предел при х→0.
Здесь мы также имеем неопределенность типа
0
0
.
Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на 
что для всех х, лежащих между а-δ 0                                                                      x →2
      Будем       писать      lim f ( x) = b . Существуют                        3      2
                                                                                x + 3x − 4 имеет предел при х→2;
                                     x→a
следующие теоремы предельного перехода:
                                                                                       3    2
      Теорема 1: Если lim f ( x) = b и lim ϕ ( x) = c , то                      lim ( x + 3x − 4) = 8 + 12 − 4 = 16 .
                                 x→a                   x→a                      x→2
lim ( f ( x) + ϕ ( x)) = lim f ( x) + lim ϕ ( x) = b + c .                                                                                     x 2 − 5x + 6
x→a                       x→a           x→a                                             Пример 2: Найти предел функции y =
       Теорема 2: Если             lim f ( x) = b ,    lim ϕ ( x) = c , то                                                                        x2 − 9
                                  x→a                 x→a                       при x → 0
lim ( f ( x) ⋅ ϕ ( x)) = lim f ( x) ⋅ lim ϕ ( x) = b ⋅ c .                            Непосредственное применение теоремы о пределе
x→a                    x→a           x→a                                        частного здесь недопустимо, так как предел знаменателя
       Теорема 3: Если                 lim f ( x) = b ,      lim ϕ ( x) = c (   равен нулю. Поэтому нахождение предела этой дроби
                                      x→a                    x→a
                                                                                                                             0
                               lim f ( x)                                       сводится к раскрытию неопределенности типа . Для её
                      f ( x) x → a         b                                                                                 0
причем с≠0), то lim          =            = .
                x → a ϕ ( x)   lim ϕ ( x) c                                     раскрытия преобразуем дробь, разложив числитель и
                                    x→a                                                                                  x 2 − 5x + 6       ( x − 2)( x − 3)
       Теорема 4: Если lim f ( x) = b , lim ϕ ( x) = b и если                   знаменатель на множители: y =                           =                    .
                                x→a                x→a
                                                                                                                             2
                                                                                                                           x −9             ( x − 3)( x + 3)
задана третья функция ψ(х), удовлетворяющая для всех х,                         Сократим дробь на
лежащих в некоторой окрестности точки а, условию                                      х-3, т.е.
 f ( x) ≤ ϕ ( x) ≤ ψ ( x) , то функция ψ(х) при х→а также имеет                       x 2 − 5x + 6     ( x − 2)( x − 3)       x−2 1
                                                                                lim                  = lim              = lim      =
предел, и этот предел равен в.                                                                   x → 3 ( x − 3)( x + 3) x → 3 x + 3 6
                                                                                            2
                                                                                x →3 x − 9
          Рассмотрим несколько примеров:                                              Таким же приемом можно найти предел любой
          Пример           1:     Найти      предел    функции                  дроби, в числителе и знаменателе которых стоят
y = x 3 + 3 x 2 − 4 при                       ↔                        х→2      многочлены, стремящиеся к нулю при х→а.
       3    2            3        2
lim ( x + 3x − 4) = lim x + lim 3x + lim (−4) .                         Для                                                        3+ x − 3
                                                                                      Пример 3: Рассмотрим функцию y =                       и
x→2                       x→2         x→2          x→2                                                                                x
разыскания пределов функций x 3 и 3x    применим     2                          найдем её предел при х→0.
теорему        о       пределе       произведения                                                                                           0
                                                                                      Здесь мы также имеем неопределенность типа              .
     3
lim x = lim x ⋅ lim x ⋅ lim x = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 .                                                                                             0
x→2        x→2       x→2      x→2                                               Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на

                                                                          23    24

Страницы