Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 12 стр.

UptoLike

Рубрика: 

23
что для всех х, лежащих между а-δ<x<δ+a выполняемо
неравенство f(x)-b<ε. для любого
0
ε
>
Будем писать
bxf
ax
=
)(
lim
. Существуют
следующие теоремы предельного перехода:
Теорема 1: Если
bxf
ax
=
)(
lim
и cx
ax
=
)(
lim
ϕ
, то
cbxxfxxf
axaxax
+
=
+
=
+
)(
lim
)(
lim
))()((
lim
ϕ
ϕ
.
Теорема 2: Если
bxf
ax
=
)(
lim
, cx
ax
=
)(
lim
ϕ
, то
cbxxfxxf
axaxax
=
=
)(
lim
)(
lim
))()((
lim
ϕ
ϕ
.
Теорема 3: Если
bxf
ax
=
)(
lim
, cx
ax
=
)(
lim
ϕ
(
причем с0), то
c
b
x
xf
x
xf
ax
ax
ax
==
)(
lim
)(
lim
)(
)(
lim
ϕϕ
.
Теорема 4: Если
bxf
ax
=
)(
lim
,
bx
ax
=
)(
lim
ϕ
и если
задана третья функция ψ(х), удовлетворяющая для всех х,
лежащих в некоторой окрестности точки а, условию
)()()( xxxf
ψ
ϕ
, то функция ψ(х) при ха также имеет
предел, и этот предел равен в.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1: Найти предел функции
43
23
+= xxy при х2
)4(
lim
3
limlim
)43(
lim
2
2
2
3
2
23
2
++=+
xxxx
xxxx . Для
разыскания пределов функций
23
3 и xx применим
теорему о пределе произведения
8222
limlimlimlim
222
3
2
===
xxxx
xxxx
.
24
Аналогично,
2
2
12
lim3
x
x
=
. Итак. функция
43
23
+ xx имеет предел при х2;
164128)43(
lim
23
2
=+=+
xx
x
.
Пример 2: Найти предел функции
9
65
2
2
+
=
x
xx
y
при x
0
Непосредственное применение теоремы о пределе
частного здесь недопустимо, так как предел знаменателя
равен нулю. Поэтому нахождение предела этой дроби
сводится к раскрытию неопределенности типа
0
0
. Для её
раскрытия преобразуем дробь, разложив числитель и
знаменатель на множители:
)3)(3(
)3)(2(
9
65
2
2
+
=
+
=
xx
xx
x
xx
y
.
Сократим дробь на
х-3, т.е.
6
1
3
2
lim
)3)(3(
)3)(2(
lim
9
65
lim
33
2
2
3
=
+
=
+
=
+
x
x
xx
xx
x
xx
xxx
Таким же приемом можно найти предел любой
дроби, в числителе и знаменателе которых стоят
многочлены, стремящиеся к нулю при ха.
Пример 3: Рассмотрим функцию
x
x
y
33 +
= и
найдем её предел при х0.
Здесь мы также имеем неопределенность типа
0
0
.
Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на