Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

25
выражение, сопряженное числителю, после чего мы
можем сократить на х:
00
30
33 (33)(33)
(3 3)
33 1
;
(3 3) (3 3) 23
lim lim
lim lim
xx
xx
xxx
x
xx
xx
xx xx
→→
→→
+− +− ++
=
=
++
+−
===
++ ++
Совершенно аналогично рассматривается предел
функции при х→∞.
Определение. Число в называется пределом
функции y=f(x) при х→∞, если для любого ε>0 можно
найти такое число N, что для всех х, превосходящих N,
выполняется неравенство f(x)-b<ε.
Отыскание предела функции непосредственно с
помощью определения предела представляет обычно
значительные трудности. Задача отыскания предела может
быть значительно облегчена, если помнить предварительно
рассмотренные теоремы предельного перехода при х→а,
которые остаются в силе и при х→∞.
Пример 4: Найти предел функции
54
32
+
+
=
x
x
y при
х→∞.
Рассматриваемая функция является частным от
деления 2х+3 на 4х+5. Однако для разыскания предела
частного нельзя сразу применять теорему 3, так как ни
числитель, ни знаменатель сами не имеют предела (обе эти
функции неограниченно возрастают при х→∞). Для того
чтобы найти предел данной дроби, предварительно
преобразуйте её, разделив числитель и знаменатель на х,
дробь от этого не изменит своей величины, а,
следовательно, и своего предела; однако, после
преобразования предел будет легче найти.
26
2
1
4
2
5
4
lim
3
2
lim
5
4
3
2
lim
54
32
lim
==
+
+
=
+
+
=
+
+
∞→
∞→
∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
.
В данном случае применить теорему о пределе
частного мы имеем право, так как пределы числителя и
знаменателя существуют, и предел знаменателя отличен от
нуля.
Пример 5: Вычислить
0
1
0
4
1
2
lim
4
2
lim
2
2
==
+
=
+
∞→∞→
x
x
x
x
xx
Для того чтобы можно было применить теорему о
пределе частного, разделим числитель и знаменатель на х
2
.
В этих примерах и числитель, и знаменатель стремятся к
∞, поэтому говорят, что имеем неопределенность типа
∞
∞
.
Для её раскрытия делят числитель и знаменатель дроби на
неизвестное в наибольшей степени.
Пример 6:
Пример 7:
.
0
2
27
13
2
lim
27
132
lim
4
43
3
4
∞==
−
−+
=
∞
∞
=
−
−+
∞→∞→
x
x
xx
x
xx
xx
;
3
5
2
3
1
5
lim
23
15
lim
2
2
2
2
=
+
+
=
∞
∞
=
+
+
∞→∞→
x
x
x
x
xx
выражение, сопряженное      числителю, после чего мы                               3              3
можем сократить на х:                                                              2+     lim  2 + 
                                                                    2x + 3         x = x →∞       x 2 1
                                                              lim          = lim                      = = .
          3+ x − 3         ( 3 + x − 3)( 3 + x + 3)          x →∞ 4x + 5 x →∞ 4 + 5               5 4 2
lim
 x →0        x
                   = lim
                      x →0       x( 3 + x + 3)
                                                    =                                     lim  4 + 
                                                                                   x x →∞         x
             x +3−3               x        1                        В данном случае применить теорему о пределе
= lim                  = lim             =    ;            частного мы имеем право, так как пределы числителя и
   x →3   x( 3 + x + 3) x→0 x( 3 + x + 3) 2 3              знаменателя существуют, и предел знаменателя отличен от
                                                           нуля.
      Совершенно аналогично рассматривается предел                  Пример 5: Вычислить
функции при х→∞.                                                                     2
      Определение. Число в называется пределом                           2x          x =0 =0
                                                                  lim 2      = lim
функции y=f(x) при х→∞, если для любого ε>0 можно                x →∞ x + 4 x →∞ 1 + 4       1
найти такое число N, что для всех х, превосходящих N,                                 x 2
выполняется неравенство f(x)-b<ε.                                 Для того чтобы можно было применить теорему о
      Отыскание предела функции непосредственно с          пределе частного, разделим числитель и знаменатель на х2.
помощью определения предела представляет обычно            В этих примерах и числитель, и знаменатель стремятся к
значительные трудности. Задача отыскания предела может                                                           ∞
быть значительно облегчена, если помнить предварительно    ∞, поэтому говорят, что имеем неопределенность типа     .
                                                                                                                 ∞
рассмотренные теоремы предельного перехода при х→а,
                                                           Для её раскрытия делят числитель и знаменатель дроби на
которые остаются в силе и при х→∞.
                                                           неизвестное в наибольшей степени.
                                             2x + 3
      Пример 4: Найти предел функции y =            при             Пример 6:
                                             4x + 5
х→∞.                                                                                         1
                                                                        2               5+
      Рассматриваемая функция является частным от                     5x + 1 ∞        x2 = 5 ;
                                                                lim            =
                                                                               = lim
деления 2х+3 на 4х+5. Однако для разыскания предела          x → ∞ 3x + 2 ∞ x → ∞ 3 + 2
                                                                      2                      3
частного нельзя сразу применять теорему 3, так как ни                                 x2
числитель, ни знаменатель сами не имеют предела (обе эти           Пример 7:
функции неограниченно возрастают при х→∞). Для того                                       3       1
чтобы найти предел данной дроби, предварительно                     4                2+      −
преобразуйте её, разделив числитель и знаменатель на х,          2 x + 3x − 1 ∞          x 3
                                                                                                 x 4 = 2 = ∞.
                                                            lim              = = lim
дробь от этого не изменит своей величины, а,               x →∞ 7 x − 2
                                                                       3       ∞ x →∞ 7 2              0
                                                                                          −
следовательно, и своего предела; однако, после                                          x x    4
преобразования предел будет легче найти.

                                                      25   26

Страницы