Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 13 стр.

UptoLike

Рубрика: 

25
выражение, сопряженное числителю, после чего мы
можем сократить на х:
00
30
33 (33)(33)
(3 3)
33 1
;
(3 3) (3 3) 23
lim lim
lim lim
xx
xx
xxx
x
xx
xx
xx xx
→→
→→
+− +− ++
=
=
++
+−
===
++ ++
Совершенно аналогично рассматривается предел
функции при х→∞.
Определение. Число в называется пределом
функции y=f(x) при х→∞, если для любого ε>0 можно
найти такое число N, что для всех х, превосходящих N,
выполняется неравенство f(x)-b<ε.
Отыскание предела функции непосредственно с
помощью определения предела представляет обычно
значительные трудности. Задача отыскания предела может
быть значительно облегчена, если помнить предварительно
рассмотренные теоремы предельного перехода при ха,
которые остаются в силе и при х→∞.
Пример 4: Найти предел функции
54
32
+
+
=
x
x
y при
х→∞.
Рассматриваемая функция является частным от
деления 2х+3 на 4х+5. Однако для разыскания предела
частного нельзя сразу применять теорему 3, так как ни
числитель, ни знаменатель сами не имеют предела (обе эти
функции неограниченно возрастают при х→∞). Для того
чтобы найти предел данной дроби, предварительно
преобразуйте её, разделив числитель и знаменатель на х,
дробь от этого не изменит своей величины, а,
следовательно, и своего предела; однако, после
преобразования предел будет легче найти.
26
2
1
4
2
5
4
lim
3
2
lim
5
4
3
2
lim
54
32
lim
==
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
.
В данном случае применить теорему о пределе
частного мы имеем право, так как пределы числителя и
знаменателя существуют, и предел знаменателя отличен от
нуля.
Пример 5: Вычислить
0
1
0
4
1
2
lim
4
2
lim
2
2
==
+
=
+
x
x
x
x
xx
Для того чтобы можно было применить теорему о
пределе частного, разделим числитель и знаменатель на х
2
.
В этих примерах и числитель, и знаменатель стремятся к
, поэтому говорят, что имеем неопределенность типа
.
Для её раскрытия делят числитель и знаменатель дроби на
неизвестное в наибольшей степени.
Пример 6:
Пример 7:
.
0
2
27
13
2
lim
27
132
lim
4
43
3
4
==
+
=
=
+
x
x
xx
x
xx
xx
;
3
5
2
3
1
5
lim
23
15
lim
2
2
2
2
=
+
+
=
=
+
+
x
x
x
x
xx