Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

27
Пример 8: Найдем
(
)
51
lim
+−+
∞→
xx
x
. Здесь
имеем неопределенность типа «∞-∞». Умножая и деля на
сопряженное выражение, получили
(
)
(
)
1515
15
15 4
0
15
lim
lim
x
x
xxxx
xx
xx
xx
→∞
→∞
+− + ++ +
=
++ +
+− − −
===
∞
++ +
.
Пример 9:
(
)
22
22
22 22
51""
51 51
51 51
lim
lim lim
x
xx
xxx
xxx x
xxx xxx
→∞
→∞ →∞
+− +=∞−∞=
+−+ +
===
++ + ++ +
∞
=
∞
Мы свели неопределенность типа «∞-∞» к «
∞
∞
».
Деля числитель и знаменатель дроби на x получим
2
1
5
5
2
51
11
lim
x
x
xx
→∞
+
=
++ +
.
Первый замечательный предел
Во многих задачах анализа приходится встречаться
с пределом функции
x
xsin
при х→0. Эта функция
определена для всех х (кроме х=0)
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
; как
28
следствие из этой формулы имеем:
1
sin
lim
,
sin
lim
00
==
→→
kx
kx
k
xk
xkk
xx
.
Пример 10:
00 0
0
sin3 3 sin3 3 sin3 3
,
8 838 38
sin3
так как 1
3
lim lim lim
lim
xx x
x
xxx
xx
x
x
→→ →
→
=⋅= =
=
Пример 11:
2
913cos
lim
2
0
−=
−
→
x
x
x
.
В самом деле, так как
2
2
22
33
2sin sin
cos3 1 9
22
;
3
2
2
x
x
x
x
xx

−

−
==−



то
=
−
→
2
0
13cos
lim
x
x
x
.
2
9
2
3
2
3
sin
2
9
lim
2
0
−=
−
→
x
x
x
Пример 12:
00 0
sin sin sin cos3 1
sin3
3sin33
cos3
lim lim lim
xx x
xxxxx
x
tg x x x
→→ →
⋅
⋅
=
==
⋅
. 
         Пример 8: Найдем              lim   (                   )
                                                     x + 1 − x + 5 . Здесь    следствие          из        этой              формулы         имеем:
                                      x →∞                                         k sin xk           sin kx
                                                                               lim          = k , lim        = 1.
имеем неопределенность типа «∞-∞». Умножая и деля на                          x → 0 xk           x → 0 kx
сопряженное выражение, получили                                                       Пример 10:
         ( x +1 − x + 5   )(
                           x +1 + x + 5          )                                  sin 3 x           3 sin 3 x 3        sin 3 x 3
 lim
  x →∞             x +1 + x + 5
                                        =
                                          .                                   lim
                                                                               x →0   8
                                                                                            =  lim
                                                                                                x →0  8
                                                                                                        ⋅
                                                                                                           3 x
                                                                                                               =
                                                                                                                 8 lim
                                                                                                                    x →0   3 x
                                                                                                                                = ,
                                                                                                                                 8
            x +1− x − 5    −4                                                                      sin 3 x
 = lim                   =    =0
     x →∞   x +1 + x + 5 ∞                                                     так как lim                 =1
          Пример 9:                                                                         x →0     3x

 lim (
  x →∞
                               )
             x 2 + 5 x − x 2 + 1 = "∞ − ∞ " =                                         Пример 11:        lim
                                                                                                        x →0
                                                                                                               cos 3x − 1
                                                                                                                  x2
                                                                                                                          9
                                                                                                                        =− .
                                                                                                                          2
              x + 5x − x + 1
               2         2
                                                       5x + 1                         В          самом              деле,            так        как
 = lim                             = lim                             =                                                           2
              x2 + 5x + x2 + 1               x2 + 5x + x2 + 1                                         3x         3x 
     x →∞                            x →∞
                                                                                              −2sin 2         sin
     ∞                                                                        cos3 x − 1
                                                                                         =            2 = −9     2 
 =                                                                                                           3x  ;
     ∞                                                                           x2               x 2
                                                                                                           2        
         Мы свели неопределенность типа «∞-∞» к «
                                                                    ∞
                                                                      ».                                     2 
                                                                    ∞                                           3x 
                                                                                                                            2
Деля числитель и знаменатель дроби                         на x получим               cos 3 x − 1         9  sin 
             1                                                                то lim              = lim −       2  = −9.
          5+                                                                     x →0    x 2
                                                                                                    x → 0 2  3x       2
             x      5.                                                                                             
lim
 x →∞    5      1
                  =
                    2                                                                                        2 
      1+ + 1+ 2                                                                      Пример 12:
         x     x
                                                                                      sin x           sin x                 x ⋅ sin x ⋅ cos3 x 1
      Первый замечательный предел
      Во многих задачах анализа приходится встречаться
                                                                              lim tg 3x = lim sin 3x = lim
                                                                               x →0            x →0                 x →0         x ⋅ sin 3 x
                                                                                                                                              = .
                                                                                                                                               3
                       sin x                                                                          cos3 x
с пределом функции           при х→0. Эта функция
                         x
                                         sin x
определена для всех х (кроме х=0) lim          = 1 ; как
                                     x →0 x




                                                                         27   28

Страницы