Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 16 стр.

слева, т.е.     lim        f ( x) = f ( x0 ) . Если функция определена         Пример 16: Функция задана двумя равенствами:
              x → xο − 0                                                                 3x + 5, для   x>0
в некоторой окрестности точки х и непрерывна в этой                             f ( x) = 
                                                                                          x + 1, для x ≤ 0
точке как справа, так и слева, то говорят, что функция
                                                                               Разрывна в точке х0=0 так как она не имеет предела
двусторонне непрерывна в точке х0. В дальнейшем мы
будем называть такую функцию просто непрерывной в                        при х→0. Действительно, lim f ( x) = 5; lim f ( x) = 1
                                                                                                     x →0+ 0             x →0−0
точке х0.
       Ввиду важности этого понятия сформулируем
приведенное здесь определение непрерывной функции в
более развернутом виде. Функция y=f(x) называется
непрерывной в точке х0, если:
       1) функция определена в некотором интервале,
           содержащем точку х0;
       2) функция имеет предел справа, предел слева и
           они равны между собой:                                                                                        Рис.1
          lim f ( x) = lim f ( x);                                                                                       1           sin x
         x → xο − 0           x → xο + 0                                        Пример     17:      Функции      f ( x) = , f ( x) =
                                                                                                                         x             x
         3)    lim f ( x) = f ( x0 )                                     разрывны в точке х=0, так как они не определены в этой
              x → xο
                                                                         точке, хотя определены в ее окрестности.
      Если в точке х0 функция f(x) непрерывна, то эта
                                                                                Пример 18: Функция, определенная двумя
точка называется точкой непрерывности функции f(x).
Если не выполняется хотя бы одно из трех условий,                                              sin x
                                                                                                     , для x ≠ 0
данных в определении непрерывности функции, то                           равенствами f ( x) =  x                  непрерывна в точке
говорят, что функция терпит разрыв.                                                            1, для x = 0
         Пример 15: f ( x) = 3x + 5 x 2                                                                                           sin x
                                                                         х=0,         действительно,              lim f ( x) = lim      =1
         Непрерывна в любой точке. Действительно, в любой                                                         x →0        x →0 x

точке х0 эта функция определена f ( x 0 ) = 3 x 0 + 5 x0 2 ;             следовательно, lim f ( x) = f ( x0 ) .
                                                                                          x → x0
предел этой функции при х→х0 существует и равен                                 Теорема: Если функция ϕ(х) и ψ(х) непрерывны в
значению      функций       в    этой              точке:                точке х0, то функция ϕ(х) + ψ(х) также непрерывна.
                            2               2
 lim f ( x) = lim (3 x + 5 x ) = 3 xο + 5 xο = f ( xο) .        Итак,
x → xο           x → xο                                                  Типы разрывов функции
выполнены все условия непрерывности функции в точке                            Определение: Точка разрыва х0 функции f(x)
х0.                                                                      называется точкой разрыва первого рода, если оба
                                                                   31    32