Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 16 стр.

UptoLike

Рубрика: 

31
слева, т.е. )()(
lim
0
0
xfxf
xx
=
ο
. Если функция определена
в некоторой окрестности точки х и непрерывна в этой
точке как справа, так и слева, то говорят, что функция
двусторонне непрерывна в точке х
0
. В дальнейшем мы
будем называть такую функцию просто непрерывной в
точке х
0
.
Ввиду важности этого понятия сформулируем
приведенное здесь определение непрерывной функции в
более развернутом виде. Функция y=f(x) называется
непрерывной в точке х
0
, если:
1)
функция определена в некотором интервале,
содержащем точку х
0
;
2)
функция имеет предел справа, предел слева и
они равны между собой:
);(
lim
)(
lim
00
xfxf
xxxx +
=
οο
3)
)()(
lim
0
xfxf
xx
=
ο
Если в точке х
0
функция f(x) непрерывна, то эта
точка называется точкой непрерывности функции f(x).
Если не выполняется хотя бы одно из трех условий,
данных в определении непрерывности функции, то
говорят, что функция терпит разрыв.
Пример 15:
2
53)( xxxf +=
Непрерывна в любой точке. Действительно, в любой
точке х
0
эта функция определена
2
000
53)( xxxf += ;
предел этой функции при хх
0
существует и равен
значению функций в этой точке:
)(53)53(
lim
)(
lim
2
2
οοο
οο
xfxxxxxf
xxxx
=+=+=
. Итак,
выполнены все условия непрерывности функции в точке
х
0
.
32
Пример 16: Функция задана двумя равенствами:
+
>+
=
0 для ,1
0 для ,53
)(
xx
xx
xf
Разрывна в точке х
0
=0 так как она не имеет предела
при х0. Действительно,
1)(
lim
;5)(
lim
0000
=
=
+
xfxf
xx
Рис.1
Пример 17: Функции
x
x
xf
x
xf
sin
)(,
1
)( ==
разрывны в точке х=0, так как они не определены в этой
точке, хотя определены в ее окрестности.
Пример 18: Функция, определенная двумя
равенствами
=
=
0 для ,1
0 для ,
sin
)(
x
x
x
x
xf непрерывна в точке
х=0, действительно,
1
sin
lim
)(
lim
00
==
x
x
xf
xx
следовательно,
)()(
lim
0
0
xfxf
xx
=
.
Теорема: Если функция ϕ(х) и ψ(х) непрерывны в
точке х
0
, то функция ϕ(х) + ψ(х) также непрерывна.
Типы разрывов функции
Определение: Точка разрыва х
0
функции f(x)
называется точкой разрыва первого рода, если оба