Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 15 стр.

                                                                                               применили теоремы о логарифме произведения и
      Второй замечательный предел                                                        степени и данный предел сведем ко второму
               x                                               x                         замечательному пределу.
      1                                               n       n
 lim 1 +  = e; Следствие :                       lim 1 +  = e                                                 2 x +1                          2( x +3) −5
x →∞    x                                       x →∞    x                                      x + 3 −1                             −1 
                                                                                         lim   ln 
                                                                                                   x+3 
                                                                                                                          = ln lim  1 +
                                                                                                                                 x →∞ 
                                                                                                                                              
                                                                                                                                          x +3
                                                                                                                                                                =
       lim (1 + x )                                     lim (1 + nx )
                   1/ x                                              1/ x
или                       = e; Следствие :                                        = en    x →∞
      x →0                                             x →0                                                          2( x +3)                     −5
                                                                                                       −1                                −1 
                                                                                         = ln lim 1 +                         ⋅ lim 1 +      =
        Доказано, что число е является иррациональным                                          x →∞   x +3                       x →∞   x +3
                                                                                         = ln ( e −2 ⋅ 1) = −2.
числом. Приближенное значение числа е с точностью до
10-5 равно е=2,71828.
        Число е играет важную роль в математике, и нам                                                   Непрерывность функции
придется с ним неоднократно встречаться. В частности, мы                                        Наше представление о непрерывной функции
будем использовать логарифмы с основанием е, так                                         обычно связывается с изображением этой функции в виде
называемые натуральные, или «Неперовы» логарифмы – по                                    графика, причем функцию мы считаем непрерывной, если
имени открывшего их шотландского математика Непера                                       её график представляет собой сплошную, непрерывную
(1550-1617г.г.). По имени его часто и число е называют                                   линию. Однако       такое представление о непрерывной
неперовым числом.                                                                        функции дает только наглядный смысл понятия
      Пример 13: lim (3x − 2) x /( x −1)                                                 непрерывности. Когда мы говорим, что функция
                     x →1                                                                непрерывна, то под этим подразумеваем, что близким
      Осуществим подстановку х-1=z, тогда z→0.                                           значениям независимого переменного соответствуют
                                                                                         близкие между        собой   значения    функции: при
      lim ( 3x − 3 + 1)
                              x /( x −1)
                                           =                                             неограниченном сближении значений независимого
        x →1
                                                                                         переменного значения функции также могут быть сделаны
      = lim (1 + 3z )                    = lim (1 + 3 z )
                           ( z +1) / 2                      1+1/ z
                                                                      =                  сколь угодно близкими друг другу.
          z →0                                 z →0                                             Рассмотрим какую-либо точку х0 на оси абсцисс и
      = lim (1 + 3 z ) (1 + 3 z )1/ z = 1 ⋅ e3 = e3                                      предположим, что найдется такой интервал (х0; х0+h) во
          z →0                                                                           всех точках которого функция y=f(x) определена. Если она
      Пример 14:                                                                         определена также в точке х0 и её предел справа при
                                                                     2 x +1              х→х0+0 существует и равен значению функции в точке х0,
                          x+2             x+2
      lim   (        )
                          x + 3 lim
              2 x + 1  ln      =      ln                                    =          то говорят, что эта функция непрерывна справа в точке х0,
       x →∞                      x →∞     x+3                                          т.е. имеет место равенство            lim f ( x) = f ( x0 ) .
                                                                                                                                        x → xο + 0
                                                                                         Аналогично, дается определение непрерывности функции

                                                                                   29    30