Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 17 стр.

односторонних                    предела            lim       f ( x) и                     x + 2 при x < 2
                                                  x → x0 −0                      f ( x) =  2
  lim       f ( x) существуют.                                                             x − 1 при x ≥ 2
x→ x0 + 0                                                                       Эта функция в точке х0=2 имеет разрыв первого
      Определение:    Точка разрыва х0 функции f(x)                      рода; здесь пределы справа и слева существуют, причем
называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы                               lim f ( x ) = 4, lim f ( x ) = 3
                                                                                    x →2−0         x→2+ 0
один из односторонних пределов lim f ( x) и lim f ( x)
                                       x→ x0 −0    x→ x0 + 0
не существует.                                                                      Пример 20:
       Среди точек разрыва первого рода важно выделить                              f(x)=tgx.
в качестве частного случая такие точки, для которых оба
односторонних предела не только существуют, но и равны
между собой. В таких точках разрыв может произойти за
счет того, что функция не определена в точке х0. Точки
разрыва, в которых оба односторонних предела
существуют и равны между собой, называются точками
устранимого разрыва. Термин «точка устранимого
разрыва» объясняется тем, что мы можем сделать функцию
в этой же точке непрерывной, изменив значение функции
только в точке х0 (или доопределив функцию в этой точке),                                                   π
                                                                                    f(x)=tgx в точке x0 =
                                                                                                  имеет разрыв второго рода, в
полагая f(x0) равным общему значению правого и левого                                           2
пределов при х→х0.                                                       этой точке функция не имеет ни предела справа, ни
       В отличие от этой точки разрывы первого рода, для                 предела слева.
которых предел справа отличен от предела слева, а также
все точки разрыва второго рода называются точками                               Пример 21:
неустранимого разрыва. Рассмотрим примеры.                               Функция f ( x) = 21 / x имеет разрыв II рода в точке х0=0.
       Пример 19:                                                        Здесь существует предел слева при х→0
                                                                          lim 2
                                                                                1/ x
                                                                                     = 2 −∞ = 0 , но не существует предел справа
                                                                         x →0 − 0
                                                                                                                                1
                                                                          lim       f ( x) = ∞ . Действительно, при х→0 справа
                                                                         x →0 + 0                                                x
                                                                         стремится к +∞ (так как справа от нуля х положителен); но
                                                                         если основание степени постоянно и больше единицы, а
                                                                         показатель стремится к +∞, то степень стремится к ∞.

                                                                   33    34