Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 17 стр.

UptoLike

Рубрика: 

33
односторонних предела
)(
lim
0
0
xf
xx
и
)(
lim
0
0
xf
xx +
существуют.
Определение: Точка разрыва х
0
функции f(x)
называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы
один из односторонних пределов
)(
lim
0
0
xf
xx
и )(
lim
0
0
xf
xx +
не существует.
Среди точек разрыва первого рода важно выделить
в качестве частного случая такие точки, для которых оба
односторонних предела не только существуют, но и равны
между собой. В таких точках разрыв может произойти за
счет того, что функция не определена в точке х
0
. Точки
разрыва, в которых оба односторонних предела
существуют и равны между собой, называются точками
устранимого разрыва. Термин «точка устранимого
разрыва» объясняется тем, что мы можем сделать функцию
в этой же точке непрерывной, изменив значение функции
только в точке х
0
(или доопределив функцию в этой точке),
полагая f(x
0
) равным общему значению правого и левого
пределов при хх
0
.
В отличие от этой точки разрывы первого рода, для
которых предел справа отличен от предела слева, а также
все точки разрыва второго рода называются точками
неустранимого разрыва. Рассмотрим примеры.
Пример 19:
34
<+
=
2 при 1
2 при 2
)(
2
xx
xx
xf
Эта функция в точке х
0
=2 имеет разрыв первого
рода; здесь пределы справа и слева существуют, причем
3)(,4)(
limlim
0202
=
=
+
xfxf
xx
Пример 20:
f(x)=tgx.
f(x)=tgx в точке
2
0
π
=x имеет разрыв второго рода, в
этой точке функция не имеет ни предела справа, ни
предела слева.
Пример 21:
Функция
x
xf
/1
2)( = имеет разрыв II рода в точке х
0
=0.
Здесь существует предел слева при х0
022
/1
00
lim
==
−∞
x
x
, но не существует предел справа
=
+
)(
lim
00
xf
x
. Действительно, при х0 справа
x
1
стремится к + (так как справа от нуля х положителен); но
если основание степени постоянно и больше единицы, а
показатель стремится к +, то степень стремится к .