Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

37
4) В геометрии
α
tgy
x
=
′
- угловой коэффициент
касательной к графику этой функции.
Процесс нахождения производной называется
дифференцированием.
Зависимость между дифференцируемостью и
непрерывностью функции
Непрерывность функции является необходимым
условием, но недостаточным условием
дифференцируемости функции.
Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную
производную, то она непрерывна в этой точке, обратное
утверждение неверно: непрерывная функция может не
иметь производной. Например, функция y=х в точке х=0
непрерывна. В то же время в точке х
0
определенной
касательной не существует, функция не дифференцируема.
Основные правила дифференцирования
I.
0
=
′
C
II.
vuvu
′
+
′
=
′
+
)(
III.
vuvuuv
′
+
′
=
′
)(
IV.
2
v
vuvu
v
u
′
−
′
=
′
V.
у=у(х) является неявной функцией от х, если
задана уравнением F(x,y)=0. Обе части
равенства дифференцируем по х, помня, что
38
у есть функция от х, затем полученное
равенство разрешить относительно
x
y
′
.
VI.
=
=
)(
)(
tyy
txx
- параметрическое задание
функции, где
t
t
x
x
y
y
′
′
=
′
.
VII.
)(ufy
=
, где u= ϕ(x), т.е. )]([ xfy
ϕ
=
-
сложная функция от х, её производная
xux
uyy
′
⋅
′
=
′
.
Таблица производных сложной функции
I. unuu
nn
′
⋅=
′
−1
)(
II.
0,1,ln)( >≠
′
⋅⋅=
′
aauaaa
uu
III.
uee
uu
′
⋅=
′
)(
IV.
u
u
u
′
⋅=
′
1
)(ln
V.
uuu
′
⋅
=
′
cos)(sin
VI.
uuu
′
⋅
−
=
′
sin)(cos
VII.
u
u
tgu
′
⋅=
′
2
cos
1
)(
VIII.
2
1
()
sin
ctgu u
u
′
′
=
−⋅
IX.
⋅
−
′
=
′
2
1
)(arcsin
u
u
u
X.
⋅
−
′
=
′
2
1
)(arccos
u
u
u 
      4) В геометрии y ′x = tgα - угловой коэффициент                  у есть функция от х, затем полученное
         касательной к графику этой функции.                           равенство разрешить относительно y ′x .
Процесс     нахождения      производной      называется                 x = x(t )
дифференцированием.                                            VI.                 -       параметрическое       задание
                                                                        y = y (t )
         Зависимость между дифференцируемостью и                                            yt′
                                                                       функции, где y ′x =      .
               непрерывностью функции                                                       xt′
       Непрерывность функции является необходимым              VII.     y = f (u ) , где u= ϕ(x), т.е. y = f [ϕ ( x)] -
условием,        но       недостаточным        условием                сложная функция от х, её производная
дифференцируемости функции.
                                                                        y ′x = yu′ ⋅ u ′x .
       Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную
производную, то она непрерывна в этой точке, обратное
утверждение неверно: непрерывная функция может не
                                                          Таблица производных сложной функции
иметь производной. Например, функция y=х в точке х=0
непрерывна. В то же время в точке х0 определенной              I.      (u n )′ = nu n−1 ⋅ u ′
касательной не существует, функция не дифференцируема.
                                                               II.     (a u )′ = a u ⋅ ln a ⋅ u ′, a ≠ 1, a > 0
                                                               III.    (e u ) ′ = e u ⋅ u ′
                                                                                    1
                                                               IV.     (ln u )′ = ⋅ u ′
                                                                                   u
                                                               V.      (sin u )′ = cos u ⋅ u ′
                                                               VI.     (cos u )′ = − sin u ⋅ u ′
                                                                                       1
                                                               VII.    (tgu )′ =            ⋅ u′
      Основные правила дифференцирования                                           cos 2 u
      I.    C′ = 0                                                                        1
      II.   (u + v)′ = u ′ + v ′                               VIII.   (ctgu )′ = −             ⋅ u′
                                                                                        sin 2 u
      III.  (uv)′ = u ′v + uv ′
                                                                                           u′
                 ′                                             IX.     (arcsin u )′ =              ⋅
             u  u ′v − uv ′                                                            1− u2
      IV.     =
            v          v2                                                               u′
      V.    у=у(х) является неявной функцией от х, если        X.      (arccos u )′ =              ⋅
            задана уравнением F(x,y)=0. Обе части                                         1− u2
            равенства дифференцируем по х, помня, что

                                                     37   38

Страницы