ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
39
XI.
2
1
)(
u
u
arctgu
+
′
=
′
XII.
2
1
)(
u
u
arcctgu
+
′
−=
′
Решение примеров
Пример 1: ?,)3(
52
=
′
+=
x
yxy
Пусть ux =+ 3
2
, тогда
5
uy = , пользуясь формулой 1 из
таблицы, имеем
4242 24
5 5(3)(3)10(3)
x
yuu x x xx
′′ ′
=⋅= + += +
Ответ:
42
)3(10 +=
′
xxy
x
Пример 2: ?,4sin =
′
=
x
yxy Имея в виду 4x=u,
применяя формулу V, получим
.4cos4)4(4cos xxxy
x
=
′
=
′
Ответ: .4cos4 xy
x
=
′
Пример 3: ?,cosln =
′
=
x
yxy Пусть cosx=u, тогда
y=lnu. Применяя формулу IV, имеем
tgxx
x
x
x
y
x
−=−=
′
=
′
)sin(
cos
1
)(cos
cos
1
Ответ: tgxy
x
−
=
′
Пример 4:
3
2
4sin xy = . Полагая sin4x=u, имеем
3/2
3
2
uuy == . Пользуясь формулой 1, получим
)4(sin)4(sin
3
2
3/1
′
⋅=
′
−
xxy
x
, а производная sin4x найдена в
примере 2, тогда
33
4sin3
4cos8
4cos4
4sin3
2
x
x
x
x
y
x
=⋅=
′
.
Ответ:
3
4sin3
4cos8
x
x
y
x
=
′
40
Пример 5: ?,14 =
′
−=
x
yxarctgy Пусть
ux =−14, тогда arctguy
=
, применив формулу XI,
получим
()
()
2
1
41
141
x
yx
x
′
′
=
⋅−
+−
. Производная
14 −x находится по формуле 1, т.е.
() ()()
1/ 2 1/ 2
12
41 41 41 .
2
41
12 1
Т.о.
4
41241
x
xxx
x
y
x
xxx
′
′
−=−⋅−=
−
′
=⋅ =
−−
Ответ:
142
1
−
=
′
xx
y
x
Пример 6: ?
arccos
)1ln(
2
4
=
′
=
−=
x
y
ty
tx
Находим
производные от х и у по параметру t по формулам IV,X
соответственно.
2
2
4
4
3
4
4
1
2
)(
1
1
;
1
4
)1(
1
1
t
t
t
t
y
t
t
t
t
x
tt
−
−=
′
⋅
−
−=
′
−
−
=
′
−⋅
−
=
′
Искомая производная от у по х находится как
отношение производных от у и х по t (см.6).
344
42
443
242(1)1
:;
12
114
t
x
t
yt ttt t
y
xt t
ttt
′
−−
′
==− − = =
′
−
−−⋅
Ответ:
4
2
1
.
2
x
t
y
t
−
′
=
u′ Пример 5: y = arctg 4 x − 1, y ′x = ? Пусть
XI. (arctgu )′ = 2
1+ u 4 x − 1 = u , тогда y = arctgu , применив формулу XI,
u′
(arcctgu )′ = −
( ) ′
XII. 1
1+ u2 получим y′x = ⋅ 4 x − 1 . Производная
( )
2
Решение примеров 1+ 4x − 1
Пример 1: y = ( x 2 + 3) 5 , y ′x = ?
4x − 1 находится по формуле 1, т.е.
′
Пусть x 2 + 3 = u , тогда y = u 5 , пользуясь формулой 1 из ( 4 x − 1)1/ 2 = 1 ( 4 x − 1)1/ 2 ⋅ ( 4 x − 1)′ = 2
.
таблицы, имеем 2 4x − 1
y′x = 5u 4 ⋅ u′ = 5( x 2 + 3) 4 ( x 2 + 3)′ = 10 x( x 2 + 3) 4 1 2 1
Т.о. y′x = ⋅ =
Ответ: y ′x = 10 x( x 2 + 3) 4 4x 4x − 1 2x 4x − 1
1
Пример 2: y = sin 4 x, y ′x = ? Имея в виду 4x=u, Ответ: y ′x =
применяя формулу V, получим 2x 4x − 1
y ′x = cos 4 x(4 x)′ = 4 cos 4 x. x = ln(1 − t 4 )
Пример 6: y ′x = ? Находим
Ответ: y ′x = 4 cos 4 x. y = arccos t 2
Пример 3: y = ln cos x, y ′x = ? Пусть cosx=u, тогда производные от х и у по параметру t по формулам IV,X
y=lnu. Применяя формулу IV, имеем соответственно.
1 1 1 4 − 4t 3 1 2t
y ′x = (cos x)′ = (− sin x) = −tgx xt′ = 4
⋅ (1 − t ) ′=
4
; y t′ = − ⋅ (t 2 )′ = −
cos x cos x 1− t 1− t 1− t4 1− t2
Ответ: y ′x = −tgx Искомая производная от у по х находится как
отношение производных от у и х по t (см.6).
Пример 4: y = 3 sin 2 4 x . Полагая sin4x=u, имеем
yt′ 2t 4t 3 2t (1 − t 4 ) 1− t4
y = 3 u 2 = u 2 / 3 . Пользуясь формулой 1, получим y′x = =− :− 4
= = ;
2 xt′ 1− t4 1− t 1 − t 4 ⋅ 4t 3 2t 2
y ′x = (sin 4 x) −1/ 3 ⋅ (sin 4 x)′ , а производная sin4x найдена в
3
2 8 cos 4 x 1− t4
примере 2, тогда y ′x = 3 ⋅ 4 cos 4 x = 3 . Ответ: y′x = .
3 sin 4 x 3 sin 4 x 2t 2
8 cos 4 x
Ответ: y ′x = 3
3 sin 4 x
39 40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
