Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 20 стр.

                                 u′                                            Пример       5:             y = arctg 4 x − 1, y ′x = ?          Пусть
       XI.       (arctgu )′ =          2
                                1+ u                                    4 x − 1 = u , тогда          y = arctgu , применив формулу XI,
                                       u′
                 (arcctgu )′ = −
                                                                                                                           (        ) ′
       XII.                                                                                            1
                                   1+ u2                              получим       y′x =                              ⋅       4 x − 1 . Производная
                                                                                                 (             )
                                                                                                                   2
       Решение примеров                                                                     1+        4x − 1
       Пример 1: y = ( x 2 + 3) 5 , y ′x = ?
                                                                        4x − 1        находится                по              формуле     1,     т.е.
                                                                                       ′
Пусть x 2 + 3 = u , тогда y = u 5 , пользуясь формулой 1 из           ( 4 x − 1)1/ 2  = 1 ( 4 x − 1)1/ 2 ⋅ ( 4 x − 1)′ =  2
                                                                                                                                  .
таблицы,                                             имеем                            2                                  4x − 1
y′x = 5u 4 ⋅ u′ = 5( x 2 + 3) 4 ( x 2 + 3)′ = 10 x( x 2 + 3) 4                         1       2                1
                                                                       Т.о. y′x =        ⋅           =
Ответ: y ′x = 10 x( x 2 + 3) 4                                                        4x 4x − 1 2x 4x − 1
                                                                                                        1
        Пример 2: y = sin 4 x, y ′x = ? Имея в виду 4x=u,                      Ответ: y ′x =
применяя формулу V, получим                                                                       2x 4x − 1
         y ′x = cos 4 x(4 x)′ = 4 cos 4 x.                                                               x = ln(1 − t 4 )
                                                                              Пример 6:                                       y ′x = ? Находим
        Ответ: y ′x = 4 cos 4 x.                                                                          y = arccos t 2
        Пример 3: y = ln cos x, y ′x = ? Пусть cosx=u, тогда          производные от х и у по параметру t по формулам IV,X
y=lnu.          Применяя             формулу     IV,  имеем           соответственно.
         1                 1                                                  1             4      − 4t 3                  1                   2t
y ′x =        (cos x)′ =        (− sin x) = −tgx                      xt′ =      4
                                                                                   ⋅ (1 − t   ) ′=
                                                                                                          4
                                                                                                            ; y t′ = −          ⋅ (t 2 )′ = −
       cos x             cos x                                              1− t                   1− t                  1− t4                1− t2
        Ответ: y ′x = −tgx                                                    Искомая производная от у по х находится как
                                                                      отношение производных от у и х по t (см.6).
       Пример 4: y = 3 sin 2 4 x . Полагая sin4x=u, имеем
                                                                              yt′     2t               4t 3     2t (1 − t 4 )    1− t4
y = 3 u 2 = u 2 / 3 . Пользуясь формулой 1, получим                   y′x =       =−                 :−    4 
                                                                                                                =                =       ;
      2                                                                       xt′    1− t4             1− t     1 − t 4 ⋅ 4t 3   2t 2
y ′x = (sin 4 x) −1/ 3 ⋅ (sin 4 x)′ , а производная sin4x найдена в
      3
                                  2                    8 cos 4 x                                     1− t4
примере 2, тогда y ′x = 3                ⋅ 4 cos 4 x = 3         .             Ответ: y′x =                .
                             3 sin 4 x                3 sin 4 x                                      2t 2
                          8 cos 4 x
        Ответ: y ′x = 3
                         3 sin 4 x
                                                                 39   40