Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

41
Пример 7: ?,03sin
2
=
′
=−
x
yxy (см. 5 из основных
правил дифференцирования)
Дифференцируем по х обе части равенства, где у
есть функция от х, получим
23cos30
x
yy x
′
−=
. Отсюда
найдем
y
x
y
x
2
3cos3
=
′
.
Ответ:
y
x
y
x
2
3cos3
=
′
.
Общая схема исследования функции и построение её
графика
1. Нахождение области определения, точек
разрыва, классификация точек разрыва.
2.
Исследование функции на четность, нечетность.
3.
Определение точек пересечения графика
функции с координатными осями.
4.
Определение интервалов монотонности
(возрастание и убывание) функции, точек
экстремума и экстремального значения функции.
5.
Нахождение интервалов выпуклости и
вогнутости графика функции.
6.
Определение асимптот.
7.
Выполнение эскиза графика функции.
Пример : Используя общую схему исследования
функции, построить график
)2(9
3
−
=
x
x
y
.
Согласно обще схеме исследования:
1.
Область определения функции. Эта функция является
дробно-рациональной, поэтому определена всюду,
кроме нулей знаменателя, т.е. х-2=0, х=2.
Следовательно, (-∞,2)∪(2,+∞)- область определения
функции, х=2 – точка разрыва, определим его тип, для
42
этого вычислим пределы слева и справа, т.е.
.
)2(9
;
)2(9
3
02
3
02
limlim
+∞=
−
−∞=
−
+→−→
x
x
x
x
xx
Таким образом,
х=2 – точка разрыва второго рода.
2.
Четность, нечетность функции.
333
3
()
() ; ( )
9( 2) 9( 2) 9( 2)
,2
9( 2)
() (); () ();
xxx
fx f x
xxx
x
x
fx fxfx fx
−−
=
−= = =
−−−−+
=
+
−≠ −≠−
)2(9
3
+
=
x
x
y - не четная, не нечетная. График
несимметричен ни относительно оси ОУ, ни относительно
начала координат.
3.
Точки пересечения графика функции с координатными
осями. С ОХ: ;0,0
)2(9
,
)2(9
0
3
3
==
−
−
=
=
x
x
x
x
x
y
y
С ОУ:
=
=
0
0
y
x
, т.е. точка О(0,0)- точка пересечения графика с
системой координат.
4.
Интервалы монотонности. Экстремум функции.
;
)2(
)2()2(3
9
1
29
1
2
323
−
′
−−−
⋅=
′
−
=
′
x
xxxx
x
x
y
x
,0
)2(
)3(
9
2
2
2
=
−
−
⋅=
′
x
xx
y
x
т.е.
,0)3(
2
=−xx
если
2
x=0 или x-3=0; 3,0
21
=
=
xx - критические точки. 
      Пример 7: y 2 − sin 3x = 0, y ′x = ? (см. 5 из основных        этого вычислим пределы слева и справа, т.е.
правил дифференцирования)                                                   x3                    x3
                                                                    lim            = −∞; lim             = +∞. Таким образом,
      Дифференцируем по х обе части равенства, где у               x→2−0 9( x − 2)      x→2+ 0 9( x − 2)
есть функция от х, получим 2 yy′x − 3cos3 x = 0 . Отсюда           х=2 – точка разрыва второго рода.
              3 cos 3x                                          2.    Четность,              нечетность             функции.
найдем y ′x =           .                                                     x3                  ( − x )3   − x3
                 2y                                              f ( x) =           ; f (− x) =            =          =
                     3 cos 3x                                             9( x − 2)             9(− x − 2) −9( x + 2)
      Ответ: y ′x =           .
                        2y                                            x3
                                                                =           , 2
Общая схема исследования функции и построение её                  9( x + 2)
графика                                                           f (− x) ≠ f ( x); f (− x) ≠ − f ( x);
      1. Нахождение области определения, точек
                                                                         x3
          разрыва, классификация точек разрыва.                 y=               -    не       четная,       не      нечетная.     График
      2. Исследование функции на четность, нечетность.              9( x + 2)
      3. Определение точек пересечения графика                  несимметричен ни относительно оси ОУ, ни относительно
         функции с координатными осями.                         начала координат.
      4. Определение        интервалов       монотонности       3. Точки пересечения графика функции с координатными
         (возрастание и убывание) функции, точек                                                y=0
         экстремума и экстремального значения функции.                                                         x3
                                                                   осями. С ОХ:                    x3 ,               = 0, x = 0; С ОУ:
      5. Нахождение       интервалов      выпуклости    и                                   y =             9( x − 2)
                                                                                                9( x − 2)
         вогнутости графика функции.
      6. Определение асимптот.                                     x = 0
                                                                            , т.е. точка О(0,0)- точка пересечения графика с
      7. Выполнение эскиза графика функции.                        y = 0
      Пример : Используя общую схему исследования                  системой координат.
                                          x3                    4. Интервалы монотонности. Экстремум функции.
      функции, построить график y =             .                                        ′
                                      9( x − 2)                             1  x 3  1 3x 2 ( x − 2) − x 3 ( x − 2)′
Согласно обще схеме исследования:                                   y ′x =                 = ⋅                              ;
                                                                            9  x − 2  9              ( x − 2) 2
1. Область определения функции. Эта функция является
   дробно-рациональной, поэтому определена всюду,                             2 x 2 ( x − 3)
   кроме    нулей     знаменателя,   т.е.    х-2=0,  х=2.            y ′x =    ⋅             = 0,   т.е.      x 2 ( x − 3) = 0,    если
                                                                              9 ( x − 2) 2
   Следовательно, (-∞,2)∪(2,+∞)- область определения
   функции, х=2 – точка разрыва, определим его тип, для              x 2 =0 или x-3=0 ; x1 = 0, x 2 = 3 - критические точки.

                                                           41   42

Страницы