ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
Пример 7: ?,03sin
2
=
′
=−
x
yxy (см. 5 из основных
правил дифференцирования)
Дифференцируем по х обе части равенства, где у
есть функция от х, получим
23cos30
x
yy x
′
−=
. Отсюда
найдем
y
x
y
x
2
3cos3
=
′
.
Ответ:
y
x
y
x
2
3cos3
=
′
.
Общая схема исследования функции и построение её
графика
1. Нахождение области определения, точек
разрыва, классификация точек разрыва.
2.
Исследование функции на четность, нечетность.
3.
Определение точек пересечения графика
функции с координатными осями.
4.
Определение интервалов монотонности
(возрастание и убывание) функции, точек
экстремума и экстремального значения функции.
5.
Нахождение интервалов выпуклости и
вогнутости графика функции.
6.
Определение асимптот.
7.
Выполнение эскиза графика функции.
Пример : Используя общую схему исследования
функции, построить график
)2(9
3
−
=
x
x
y
.
Согласно обще схеме исследования:
1.
Область определения функции. Эта функция является
дробно-рациональной, поэтому определена всюду,
кроме нулей знаменателя, т.е. х-2=0, х=2.
Следовательно, (-∞,2)∪(2,+∞)- область определения
функции, х=2 – точка разрыва, определим его тип, для
42
этого вычислим пределы слева и справа, т.е.
.
)2(9
;
)2(9
3
02
3
02
limlim
+∞=
−
−∞=
−
+→−→
x
x
x
x
xx
Таким образом,
х=2 – точка разрыва второго рода.
2.
Четность, нечетность функции.
333
3
()
() ; ( )
9( 2) 9( 2) 9( 2)
,2
9( 2)
() (); () ();
xxx
fx f x
xxx
x
x
fx fxfx fx
−−
=
−= = =
−−−−+
=
+
−≠ −≠−
)2(9
3
+
=
x
x
y - не четная, не нечетная. График
несимметричен ни относительно оси ОУ, ни относительно
начала координат.
3.
Точки пересечения графика функции с координатными
осями. С ОХ: ;0,0
)2(9
,
)2(9
0
3
3
==
−
−
=
=
x
x
x
x
x
y
y
С ОУ:
=
=
0
0
y
x
, т.е. точка О(0,0)- точка пересечения графика с
системой координат.
4.
Интервалы монотонности. Экстремум функции.
;
)2(
)2()2(3
9
1
29
1
2
323
−
′
−−−
⋅=
′
−
=
′
x
xxxx
x
x
y
x
,0
)2(
)3(
9
2
2
2
=
−
−
⋅=
′
x
xx
y
x
т.е.
,0)3(
2
=−xx
если
2
x=0 или x-3=0; 3,0
21
=
=
xx - критические точки.
Пример 7: y 2 − sin 3x = 0, y ′x = ? (см. 5 из основных этого вычислим пределы слева и справа, т.е. правил дифференцирования) x3 x3 lim = −∞; lim = +∞. Таким образом, Дифференцируем по х обе части равенства, где у x→2−0 9( x − 2) x→2+ 0 9( x − 2) есть функция от х, получим 2 yy′x − 3cos3 x = 0 . Отсюда х=2 – точка разрыва второго рода. 3 cos 3x 2. Четность, нечетность функции. найдем y ′x = . x3 ( − x )3 − x3 2y f ( x) = ; f (− x) = = = 3 cos 3x 9( x − 2) 9(− x − 2) −9( x + 2) Ответ: y ′x = . 2y x3 = , 2 Общая схема исследования функции и построение её 9( x + 2) графика f (− x) ≠ f ( x); f (− x) ≠ − f ( x); 1. Нахождение области определения, точек x3 разрыва, классификация точек разрыва. y= - не четная, не нечетная. График 2. Исследование функции на четность, нечетность. 9( x + 2) 3. Определение точек пересечения графика несимметричен ни относительно оси ОУ, ни относительно функции с координатными осями. начала координат. 4. Определение интервалов монотонности 3. Точки пересечения графика функции с координатными (возрастание и убывание) функции, точек y=0 экстремума и экстремального значения функции. x3 осями. С ОХ: x3 , = 0, x = 0; С ОУ: 5. Нахождение интервалов выпуклости и y = 9( x − 2) 9( x − 2) вогнутости графика функции. 6. Определение асимптот. x = 0 , т.е. точка О(0,0)- точка пересечения графика с 7. Выполнение эскиза графика функции. y = 0 Пример : Используя общую схему исследования системой координат. x3 4. Интервалы монотонности. Экстремум функции. функции, построить график y = . ′ 9( x − 2) 1 x 3 1 3x 2 ( x − 2) − x 3 ( x − 2)′ Согласно обще схеме исследования: y ′x = = ⋅ ; 9 x − 2 9 ( x − 2) 2 1. Область определения функции. Эта функция является дробно-рациональной, поэтому определена всюду, 2 x 2 ( x − 3) кроме нулей знаменателя, т.е. х-2=0, х=2. y ′x = ⋅ = 0, т.е. x 2 ( x − 3) = 0, если 9 ( x − 2) 2 Следовательно, (-∞,2)∪(2,+∞)- область определения функции, х=2 – точка разрыва, определим его тип, для x 2 =0 или x-3=0 ; x1 = 0, x 2 = 3 - критические точки. 41 42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »