Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 21 стр.

UptoLike

Рубрика: 

41
Пример 7: ?,03sin
2
=
=
x
yxy (см. 5 из основных
правил дифференцирования)
Дифференцируем по х обе части равенства, где у
есть функция от х, получим
23cos30
x
yy x
−=
. Отсюда
найдем
y
x
y
x
2
3cos3
=
.
Ответ:
y
x
y
x
2
3cos3
=
.
Общая схема исследования функции и построение её
графика
1. Нахождение области определения, точек
разрыва, классификация точек разрыва.
2.
Исследование функции на четность, нечетность.
3.
Определение точек пересечения графика
функции с координатными осями.
4.
Определение интервалов монотонности
(возрастание и убывание) функции, точек
экстремума и экстремального значения функции.
5.
Нахождение интервалов выпуклости и
вогнутости графика функции.
6.
Определение асимптот.
7.
Выполнение эскиза графика функции.
Пример : Используя общую схему исследования
функции, построить график
)2(9
3
=
x
x
y
.
Согласно обще схеме исследования:
1.
Область определения функции. Эта функция является
дробно-рациональной, поэтому определена всюду,
кроме нулей знаменателя, т.е. х-2=0, х=2.
Следовательно, (-,2)(2,+)- область определения
функции, х=2 – точка разрыва, определим его тип, для
42
этого вычислим пределы слева и справа, т.е.
.
)2(9
;
)2(9
3
02
3
02
limlim
+∞=
−∞=
+
x
x
x
x
xx
Таким образом,
х=2 – точка разрыва второго рода.
2.
Четность, нечетность функции.
333
3
()
() ; ( )
9( 2) 9( 2) 9( 2)
,2
9( 2)
() (); () ();
xxx
fx f x
xxx
x
x
fx fxfx fx
−−
=
−= = =
−−+
=
+
−≠ −≠
)2(9
3
+
=
x
x
y - не четная, не нечетная. График
несимметричен ни относительно оси ОУ, ни относительно
начала координат.
3.
Точки пересечения графика функции с координатными
осями. С ОХ: ;0,0
)2(9
,
)2(9
0
3
3
==
=
=
x
x
x
x
x
y
y
С ОУ:
=
=
0
0
y
x
, т.е. точка О(0,0)- точка пересечения графика с
системой координат.
4.
Интервалы монотонности. Экстремум функции.
;
)2(
)2()2(3
9
1
29
1
2
323
=
=
x
xxxx
x
x
y
x
,0
)2(
)3(
9
2
2
2
=
=
x
xx
y
x
т.е.
,0)3(
2
=xx
если
2
x=0 или x-3=0; 3,0
21
=
=
xx - критические точки.