Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 23 стр.

Имеются наклонная, горизонтальная и вертикальная
асимптоты. y=kx+b – уравнение наклонной асимптоты, где                                      Неопределенный и определенный
        f ( x)                                                                                      интеграл
k = lim        , b = lim [ f ( x) − kx]. Определим k ↔ и ↔ b
    x→∞ x            x→∞                                                                    1. Основные понятия.
        f ( x)             x3                                                         Функция F(x) называется первообразной от
k = lim         = lim               = ∞, b = lim [ f ( x) − kx] = ∞         функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого
    x→∞ x          x→∞ 9( x − 2) x           x →∞
                                                                            отрезка выполняется равенство F(x)=f(x).
Следовательно, нет наклонной и горизонтальной асимптот.
                                                                                      Всякая          непрерывная              функция        f(x)   имеет
х=2 – точка разрыва, поэтому х=2 – вертикальная
                                                                            бесчисленное              множество            первообразных,          которые
асимптота.
                                                                            отличаются постоянным слагаемым, т.е. все множество
7. Построение графика функции.
                                                                            первообразных содержится в выражении F(x)+C.
На систему координат наносим характерные точки по
                                                                                      Совокупность всех первообразных называется
пунктам 1-6 (желательно их нанести параллельно с
                                                                            неопределенным интегралом от функции f(x) и
исследованием).
                                                                            обозначается символом ∫f(x)dx. Итак, ∫f(x)dx= F(x)+C.
                                                                                      При интегрировании наиболее часто используются
                                                                            следующие методы:
                                                                            1)              Если                ∫f(x)dx=                F(x)+C,         то
                                                                                                   1
                                                                            ∫ f ( ax + b)dx = F ( ax + b) + c, (1)
                                                                                                   a
                                                                            где а,в – некоторые постоянные.
                                                                            2) Подведение под знак дифференциала:
                                                                            ∫ f (ϕ ( x ))ϕ ′( x ) dx = ∫ f (ϕ ( x)) d (ϕ ( x )) = ∫ f (u ) du (2)
Пример: Найти частные производные функции                                   3) Формула интегрирования по частям:
1) z = x 5 + x 3 y + y 4 ;                                                  ∫ udv =uv − ∫ vdu. (3)
2) z = x ln y + arcsin y.                                                   4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений
Решение:                                                                         двух         многочленов,             сводится            к   разложению
   ∂z              ∂z                                                            подинтегральной функции на элементарные дроби в
1)    = z ′x = ?       = z ′y = ? Считая у постоянной,                           виде:
   ∂x              ∂y
                                                                                       A              Mx + N
    определим         z ′x , тогда    z ′x = 5 x 4 + 3 yx 2 . Аналогично,                     ,                        , ( 4)         где k и m – целые
                                                                                  ( x − a ) k ( x 2 + px + g ) m
    считая х постоянной, определим z ′y = x 3 + 4 y 3 .                          положительные числа, а трехчлен x 2 + px + g не имеет
Ответ: z ′x = 5 x 4 + 3 yx 2 ; z ′y = x 3 + 4 y 3                                действительных корней.

                                                                      45    46