ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
45
Имеются наклонная, горизонтальная и вертикальная
асимптоты. y=kx+b – уравнение наклонной асимптоты, где
].)([,
)(
limlim
kxxfb
x
xf
k
xx
−==
∞→∞→
Определим k
↔
и
↔
b
∞=−=∞=
−
==
∞→∞→∞→
])([,
)2(9
)(
limlimlim
3
kxxfb
xx
x
x
xf
k
xxx
Следовательно, нет наклонной и горизонтальной асимптот.
х=2 – точка разрыва, поэтому х=2 – вертикальная
асимптота.
7. Построение графика функции.
На систему координат наносим характерные точки по
пунктам 1-6 (желательно их нанести параллельно с
исследованием).
Пример: Найти частные производные функции
1)
;
435
yyxxz ++=
2)
.arcsinln yyxz +=
Решение:
1)
? ? =
′
=
∂
∂
=
′
=
∂
∂
yx
z
y
z
z
x
z
Считая у постоянной,
определим
x
z
′
, тогда
24
35 yxxz
x
+=
′
. Аналогично,
считая х постоянной, определим
33
4yxz
y
+=
′
.
Ответ:
24
35 yxxz
x
+=
′
;
33
4yxz
y
+=
′
46
Неопределенный и определенный
интеграл
1. Основные понятия.
Функция F(x) называется первообразной от
функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого
отрезка выполняется равенство F(x)=f(x).
Всякая непрерывная функция f(x) имеет
бесчисленное множество первообразных, которые
отличаются постоянным слагаемым, т.е. все множество
первообразных содержится в выражении F(x)+C.
Совокупность всех первообразных называется
неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается символом
∫f(x)dx. Итак, ∫f(x)dx= F(x)+C.
При интегрировании наиболее часто используются
следующие методы:
1) Если
∫f(x)dx= F(x)+C, то
)1( ,)(
1
)( cbaxF
a
dxbaxf ++=+
∫
где а,в – некоторые постоянные.
2)
Подведение под знак дифференциала:
∫∫∫
=
=
′
)2( )())(())(()())(( duufxdxfdxxxf
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
3)
Формула интегрирования по частям:
∫∫
−
=
)3( .vduuvudv
4)
Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений
двух многочленов, сводится к разложению
подинтегральной функции на элементарные дроби в
виде:
)4( ,
)(
,
)(
2 mk
gpxx
NMx
ax
A
++
+
−
где k и m – целые
положительные числа, а трехчлен
gpxx ++
2
не имеет
действительных корней.
Имеются наклонная, горизонтальная и вертикальная
асимптоты. y=kx+b – уравнение наклонной асимптоты, где Неопределенный и определенный
f ( x) интеграл
k = lim , b = lim [ f ( x) − kx]. Определим k ↔ и ↔ b
x→∞ x x→∞ 1. Основные понятия.
f ( x) x3 Функция F(x) называется первообразной от
k = lim = lim = ∞, b = lim [ f ( x) − kx] = ∞ функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого
x→∞ x x→∞ 9( x − 2) x x →∞
отрезка выполняется равенство F(x)=f(x).
Следовательно, нет наклонной и горизонтальной асимптот.
Всякая непрерывная функция f(x) имеет
х=2 – точка разрыва, поэтому х=2 – вертикальная
бесчисленное множество первообразных, которые
асимптота.
отличаются постоянным слагаемым, т.е. все множество
7. Построение графика функции.
первообразных содержится в выражении F(x)+C.
На систему координат наносим характерные точки по
Совокупность всех первообразных называется
пунктам 1-6 (желательно их нанести параллельно с
неопределенным интегралом от функции f(x) и
исследованием).
обозначается символом ∫f(x)dx. Итак, ∫f(x)dx= F(x)+C.
При интегрировании наиболее часто используются
следующие методы:
1) Если ∫f(x)dx= F(x)+C, то
1
∫ f ( ax + b)dx = F ( ax + b) + c, (1)
a
где а,в – некоторые постоянные.
2) Подведение под знак дифференциала:
∫ f (ϕ ( x ))ϕ ′( x ) dx = ∫ f (ϕ ( x)) d (ϕ ( x )) = ∫ f (u ) du (2)
Пример: Найти частные производные функции 3) Формула интегрирования по частям:
1) z = x 5 + x 3 y + y 4 ; ∫ udv =uv − ∫ vdu. (3)
2) z = x ln y + arcsin y. 4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений
Решение: двух многочленов, сводится к разложению
∂z ∂z подинтегральной функции на элементарные дроби в
1) = z ′x = ? = z ′y = ? Считая у постоянной, виде:
∂x ∂y
A Mx + N
определим z ′x , тогда z ′x = 5 x 4 + 3 yx 2 . Аналогично, , , ( 4) где k и m – целые
( x − a ) k ( x 2 + px + g ) m
считая х постоянной, определим z ′y = x 3 + 4 y 3 . положительные числа, а трехчлен x 2 + px + g не имеет
Ответ: z ′x = 5 x 4 + 3 yx 2 ; z ′y = x 3 + 4 y 3 действительных корней.
45 46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
