Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 25 стр.

             2           d (− x 2 )    1       2              1     2                                          u = ln x,(5 − x)dx = dv
3) ∫ xe − x dx = xdx =              = − ∫ e − x d (− x 2 ) = − e − x + C
                            −2         2                      2
                                                                              ∫ (5 − x)ln xdx = du = 1 dx; v =                               x2 =
          Проверка:                                                                                           x          ∫ (5 − x)dx − 5 x − 2
                     ′
       1 − x2        1 − x2                    1     2                  2
                                                                                
       − e    + C  =− e     ⋅ (− x 2 )′ + 0 = − e − x ⋅ (−2 x) = xe − x                x2               x2 
       2             2                         2                            =  5 x 2 −  ln x − ∫  5 x −  ln x −
                                                                                        2                2
           2x + 7                                                                     x           x2            x2
4) ∫                dx                                                        − ∫  5 − dx =  5 x −  ln x − 5 x + + C
     x2 + x − 2
Разложим           знаменатель          на           множители:
                                                                                      2           2             4
 2                                 2
x + x − 2 = 0; x1 = 1, x 2 = −2 ⇒ x + x − 2 = ( x − 1)( x + 2).
                                                                                                        Ряды.
                                                                                    Задание 1. Исследовать на сходимость числовой ряд
Разложим дробь на простейшие:                                                 с помощью достаточных признаков.
  2x + 7        A      B        A( x + 2) + B( x − 1)                               Числовой        ряд       –      сумма       вида
           =        +        =                        ⇒
x + x − 2 x −1 x + 2
  2
                                   ( x − 1)( x + 2)                            ∞
                                                                               ∑ u n = u1 + u 2 + ... + u n + ... ,   где     u1 , u 2 , u n   -   члены
                                                                              n =1
2 x + 7 = A( x + 2) + B( x − 1) =
                                                                              бесконечной последовательности, член называется общим
= ( A + B) x + 2 A − B ⇒                                                      членом ряда.
 A+ B = 2                                                                            Суммы
            ⇒ A = 3; B = −1. Следовательно,                                   S1 = u1 , S 2 = u1 + u 2 , S 2 = u1 + u 2 + u3 , S n = u1 + u 2 + u3 + ... + u n
2 A − B = 7
                                                                              , составленные из первых членов ряда, называются
   2x + 7
∫ x + x − 2dx =
      2
                                                                              частичными суммами.
                                                                                      Каждому                ряду         можно             сопоставить
                                                                              последовательность частичных сумм S1 , S 2 , S 2 , S n . Если
    3       1 
= ∫      −      dx = 3ln x − 1 − ln x + 2 + C =                             при бесконечном возрастании номера частичная сумма
    x −1 x + 2                                                              ряда Sn стремится к пределу S, то ряд называется
     ( x − 1)3                                                                сходящимся, а число S сумма сходящегося ряда. В
= ln           + C.                                                           противном случае, ряд расходящийся.
       x+2                                                                            Вычисление предела частных сумм не всегда
5. ∫ (5 − x) ln xdx . Интегрируем по частям                                   удается провести непосредственно, поэтому сходимость
                                                                              или расходимость ряда определяется с помощью
                                                                              необходимых и достаточных признаков.
                                                                                      Необходимый признак.
                                                                    49        50