ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
51
Ряд
∑
∞
=1n
n
u может сходиться только при условии, что
его общий член u
n
при неограниченном увеличении
номера n стремится к нулю: 0
lim
=
∞→
n
n
u .
Если 0
lim
≠
∞→
n
n
u , то ряд расходится – это
достаточный признак расходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами.
1.
Признак сравнения рядов.
Исследуемый ряд сходится, если его члены не
превосходят соответствующих членов другого, заведомо
сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его
члены превосходят соответствующие члены другого
заведомо расходящегося ряда.
При исследовании рядов на сходимость и
расходимость по этому признаку часто используется:
а) геометрический ряд
),0...(...
2
1
>+++++=
∑
∞
=
aaqaqaqaaq
n
n
n
который
сходится при
q<1 и расходится при q≥1;
б) гармонический ряд
...,
3
1
2
1
1
1
1
+++=
∑
∞
=n
n
являющийся расходящимся;
в) обобщенный гармонический
...,
3
1
2
1
1
1
1
+++=
∑
∞
=
p
n
pp
n
сходящийся при p>1,
расходящийся при p
≤1.
2.
Признак Даламбера.
52
Если для ряда с положительными членами выполняется
условие
l
u
u
n
n
n
=
+
∞→
1
lim
, то ряд сходится при 1<l и
расходится при
1>l .
Признак Даламбера не дает ответа, если 1=l . В
этом случае для исследования ряда применяются другие
приемы.
3.
Признак Коши: Если
n
n
n
u
lim
∞→
при ∞→n
стремится к определенному числу q, то при q<1 ряд с
положительными членами ......
321
++
+
+
+
n
uuuu
сходится, при q>1 расходится.
4.
Интегральный признак: Если f(x) – непрерывная
убывающая, неотрицательная функция для всех 1≥x и
несобственный интеграл
∫
∞
1
)( dxxf сходится, то ряд f(1)+
f(2)+…+ f(n)+… сходится, если
∫
∞
1
)( dxxf расходится, то и
ряд f(1)+ f(2)+…+ f(n)+… расходится.
Исследовать на сходимость.
Примеры:
2
2
211 1
1
()
1! 1
1). ;2). ;3). ;4). .
ln 3 3 ( 1) ln ( 1)
n
nn
nnn n
n
n
n
nnn
∞∞∞ ∞
=== =
+
+
+
∑∑∑ ∑
1.
Ряд
...
ln
1
...
4ln
1
3ln
1
2ln
1
ln
1
2
+++++=
∑
∞
=
nn
n
Находим
0
1
ln
1
limlim
=
∞
==
∞→∞→
n
u
n
n
n
. Необходимый
∞ Если для ряда с положительными членами выполняется
Ряд ∑ u n может сходиться только при условии, что
n =1 u n+1
условие lim = l , то ряд сходится при l < 1 и
его общий член un при неограниченном увеличении n →∞ u n
номера n стремится к нулю: lim u n = 0 . расходится при l > 1 .
n →∞
Если lim un ≠ 0 , то ряд расходится – это Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1 . В
n →∞ этом случае для исследования ряда применяются другие
достаточный признак расходимости ряда. приемы.
Достаточные признаки сходимости рядов с
3. Признак Коши: Если lim n u n при n → ∞
положительными членами. n →∞
1. Признак сравнения рядов. стремится к определенному числу q, то при q<1 ряд с
Исследуемый ряд сходится, если его члены не положительными членами u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...
превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходится, при q>1 расходится.
сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его 4. Интегральный признак: Если f(x) – непрерывная
члены превосходят соответствующие члены другого убывающая, неотрицательная функция для всех x ≥ 1 и
заведомо расходящегося ряда. ∞
При исследовании рядов на сходимость и несобственный интеграл ∫ f ( x)dx сходится, то ряд f(1)+
расходимость по этому признаку часто используется: 1
а) геометрический ряд ∞
∞
f(2)+…+ f(n)+… сходится, если ∫ f ( x)dx расходится, то и
n
∑ aq = a + aq + aq 2 + ... + aq n + ...(a > 0), который 1
n =1 ряд f(1)+ f(2)+…+ f(n)+… расходится.
сходится при q<1 и расходится при q≥1; Исследовать на сходимость.
∞ 1 1 1 Примеры:
б) гармонический ряд ∑ = 1 + + + ...,
n =1 n 2 3 n + 1 n2
∞ ∞ ∞ ( ) ∞
1 n! 1
являющийся расходящимся;
в) обобщенный гармонический
1).∑ ;2).∑ n ;3).∑ n ;4).∑ .
3n n =1 ( n + 1)ln ( n + 1)
2
n = 2 ln n n =1 3 n =1
∞ 1 1 1
∑
p
= 1 + p + p + ..., сходящийся при p>1,
n =1 n 2 3 ∞ 1 1 1 1 1
расходящийся при p≤1. 1. Ряд ∑ = + + + ... + + ...
n = 2 ln n ln 2 ln 3 ln 4 ln n
2. Признак Даламбера. 1 1
Находим lim u n = lim = = 0 . Необходимый
n →∞ n→∞ ln n ∞
51 52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
