Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 26 стр.

UptoLike

Рубрика: 

51
Ряд
=1n
n
u может сходиться только при условии, что
его общий член u
n
при неограниченном увеличении
номера n стремится к нулю: 0
lim
=
n
n
u .
Если 0
lim
n
n
u , то ряд расходитсяэто
достаточный признак расходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами.
1.
Признак сравнения рядов.
Исследуемый ряд сходится, если его члены не
превосходят соответствующих членов другого, заведомо
сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его
члены превосходят соответствующие члены другого
заведомо расходящегося ряда.
При исследовании рядов на сходимость и
расходимость по этому признаку часто используется:
а) геометрический ряд
),0...(...
2
1
>+++++=
=
aaqaqaqaaq
n
n
n
который
сходится при
q<1 и расходится при q≥1;
б) гармонический ряд
...,
3
1
2
1
1
1
1
+++=
=n
n
являющийся расходящимся;
в) обобщенный гармонический
...,
3
1
2
1
1
1
1
+++=
=
p
n
pp
n
сходящийся при p>1,
расходящийся при p
1.
2.
Признак Даламбера.
52
Если для ряда с положительными членами выполняется
условие
l
u
u
n
n
n
=
+
1
lim
, то ряд сходится при 1<l и
расходится при
1>l .
Признак Даламбера не дает ответа, если 1=l . В
этом случае для исследования ряда применяются другие
приемы.
3.
Признак Коши: Если
n
n
n
u
lim
при n
стремится к определенному числу q, то при q<1 ряд с
положительными членами ......
321
++
+
+
+
n
uuuu
сходится, при q>1 расходится.
4.
Интегральный признак: Если f(x) – непрерывная
убывающая, неотрицательная функция для всех 1x и
несобственный интеграл
1
)( dxxf сходится, то ряд f(1)+
f(2)+…+ f(n)+… сходится, если
1
)( dxxf расходится, то и
ряд f(1)+ f(2)+…+ f(n)+… расходится.
Исследовать на сходимость.
Примеры:
2
2
211 1
1
()
1! 1
1). ;2). ;3). ;4). .
ln 3 3 ( 1) ln ( 1)
n
nn
nnn n
n
n
n
nnn
∞∞
=== =
+
+
+
∑∑
1.
Ряд
...
ln
1
...
4ln
1
3ln
1
2ln
1
ln
1
2
+++++=
=
nn
n
Находим
0
1
ln
1
limlim
=
==
n
u
n
n
n
. Необходимый