Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 26 стр.

                  ∞                                                           Если для ряда с положительными членами выполняется
           Ряд ∑ u n может сходиться только при условии, что
                n =1                                                                          u n+1
                                                                              условие     lim       = l , то ряд сходится при l < 1 и
его общий член un при неограниченном увеличении                                          n →∞ u n
номера n стремится к нулю: lim u n = 0 .                                      расходится при l > 1 .
                                         n →∞
           Если        lim    un ≠ 0 ,   то     ряд   расходится    –   это         Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1 . В
                       n →∞                                                   этом случае для исследования ряда применяются другие
достаточный признак расходимости ряда.                                        приемы.
      Достаточные признаки сходимости рядов с
                                                                                    3. Признак Коши: Если lim n u n при n → ∞
положительными членами.                                                                                                        n →∞
      1. Признак сравнения рядов.                                             стремится к определенному числу q, то при q<1 ряд с
      Исследуемый ряд сходится, если его члены не                             положительными       членами    u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ...
превосходят соответствующих членов другого, заведомо                          сходится, при q>1 расходится.
сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его                              4. Интегральный признак: Если f(x) – непрерывная
члены превосходят соответствующие члены         другого                       убывающая, неотрицательная функция для всех x ≥ 1 и
заведомо расходящегося ряда.                                                                                    ∞
      При исследовании рядов на сходимость и                                  несобственный интеграл ∫ f ( x)dx сходится, то ряд f(1)+
расходимость по этому признаку часто используется:                                                               1
      а)               геометрический               ряд                                                                    ∞
∞
                                                                              f(2)+…+ f(n)+… сходится, если ∫ f ( x)dx расходится, то и
       n
∑ aq       = a + aq + aq 2 + ... + aq n + ...(a > 0),              который                                                 1
n =1                                                                          ряд f(1)+ f(2)+…+ f(n)+… расходится.
сходится при q<1 и расходится при q≥1;                                           Исследовать на сходимость.
                                        ∞ 1        1 1                               Примеры:
         б)    гармонический      ряд   ∑     = 1 + + + ...,
                                       n =1 n      2 3                                                               n + 1 n2
                                                                                   ∞            ∞           ∞    (        )         ∞
                                                                                          1            n!                                        1
являющийся расходящимся;
         в)           обобщенный              гармонический
                                                                              1).∑            ;2).∑ n ;3).∑            n      ;4).∑                         .
                                                                                                                       3n          n =1 ( n + 1)ln ( n + 1)
                                                                                                                                                   2
                                                                                   n = 2 ln n     n =1 3  n =1
 ∞ 1           1    1
 ∑
       p
         = 1 + p + p + ..., сходящийся        при      p>1,
n =1 n        2    3                                                                                    ∞     1      1       1   1          1
расходящийся при p≤1.                                                                  1. Ряд           ∑         =      +     +   + ... +      + ...
                                                                                                       n = 2 ln n   ln 2 ln 3 ln 4         ln n
         2. Признак Даламбера.                                                                                      1      1
                                                                              Находим             lim u n = lim         = = 0 . Необходимый
                                                                                                 n →∞         n→∞ ln n    ∞



                                                                         51   52