ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
53
признак выполняется. Сравним данный ряд с
гармоническим рядом:
...
1
...
3
1
2
1
1 +++++
n
Для всех n
≥2 выполняется неравенство
⇒>
nn
1
ln
1
, ряд
расходится, т.к. его члены превосходят соответствующие
члены гармонического ряда, являющегося расходящимся.
2.
Ряд ...
3
!
...
3
321
3
21
3
1
3
!
32
1
+++
⋅
⋅
+
⋅
+=
∑
∞
=
n
n
n
nn
Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем
11
1
3
)1(
3
)!1(
,
3
!
++
+
+
⋅
+
==
nn
n
n
n
nnn
u
n
u
,
1
3
1
!
3
3
!)1(
limlimlim
1
1
>∞=
+
=⋅
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
nn
u
u
n
n
n
n
n
n
u
.
Следовательно, ряд расходится.
3.
Рассматриваемый ряд
...
27
3
4
9
2
3
3
2
3
)
1
(
44
1
2
+
+
+=
+
∑
∞
=n
n
n
n
n
. Необходимый признак
выполняется:
0
33
)
1
1(
3
)
1
(
limlimlim
22
==
+
=
+
∞→∞→∞→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
nn
n
. В
нашем примере общий член ряда в n-ой степени, в таких
случаях удобно пользоваться признаком Коши.
54
2
1
()
3
1
()
111
10,91,
33 3
lim lim
lim lim
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
u
n
n
l
n
→∞ →∞
→∞ →∞
+
==
+
==+=≈<
<
следовательно, ряд сходится.
4.
Ряд
...
)1(ln)1(
1
...
3ln3
1
2ln2
1
)1(ln)1(
1
222
1
2
+
++
+++=
++
∑
∞
=
nnnn
n
Если общий член ряда довольно простое выражение, то
удобно пользоваться интегральным признаком Коши.
.0
1
)1(ln)1(
1
2
lim
=
∞
=
++
∞→
nn
n
Необходимый признак
выполняется. Условия признака выполняются:
)1(ln)1(
1
...
4ln4
1
3ln3
1
2ln2
1
2222
++
>>>>
nn
22
11
1
( 1)ln ( 1) ( 1)ln ( 1)
1111
ln( 1) ln( 1) ln 2 ln 2
lim
lim lim
a
a
a
aa
dx dx
xx xx
xa
∞
→∞
→∞ →∞
==
++ ++
=− =− +=
++
∫∫
Несобственный интеграл имеет конечное значение, значит
он сходится и сходится наш ряд.
Задание. Исследовать на абсолютную, условную
сходимость знакопеременный ряд.
Числовой ряд называется знакопеременным, если
среди его членов имеются как положительные, так и
отрицательные числа. Числовой ряд называется
признак выполняется. Сравним данный ряд с n + 1 n2
1 1 1 ( )
гармоническим рядом: 1 + + + ... + + ... n n
2 3 n lim
n→∞
n un = lim
n→∞ 3n
=<
1 1
Для всех n≥2 выполняется неравенство > ⇒ , ряд
ln n n n +1 n
( ) n
расходится, т.к. его члены превосходят соответствующие n 1 1 1
члены гармонического ряда, являющегося расходящимся. = lim = lim 1 + = l ≈ 0,9 < 1,
n→∞ 3 3 n→∞ n 3
∞ n! 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 n!
2. Ряд ∑ = + + + ... + + ... следовательно, ряд сходится.
n =1 3 n 3 32 33 3n 4. Ряд
Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем ∞ 1 1 1 1
n! (n + 1)! n(n + 1) ∑ = + + ... + + ...
u n = n , u n+1 = n+1 ⋅ n+1 , n =1 ( n + 1) ln 2 (n + 1) 2 ln 2 2 3 ln 2 3 (1 + n) ln 2 (n + 1)
3 3 3 Если общий член ряда довольно простое выражение, то
u n+1 (n + 1)n! 3 n n +1 удобно пользоваться интегральным признаком Коши.
lim = lim +
⋅ = lim = ∞ > 1.
u →∞ u n n →∞ 3 n 1 n! n→∞ 3 1 1
lim = = 0. Необходимый признак
Следовательно, ряд расходится. 2
n→∞ ( n + 1) ln ( n + 1) ∞
3. Рассматриваемый ряд выполняется. Условия признака выполняются:
4 4
n + 1 n2 3 4 1 1 1 1
( ) 2
> 2
> 2
> ... >
∞ 2 2 3 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 (1 + n) ln 2 (n + 1)
∑
n
n
= + + + ... . Необходимый признак ∞ a
n =1 3 3 9 27 dx dx
(
n + 1 n2
)
1 2
(1 + ) n
∫1 ( x + 1)ln 2 ( x + 1) = lim ∫
a →∞ 1 ( x + 1)ln ( x + 1)
2
=
n n en
выполняется: lim = lim = lim n = 0 . В a
n →∞ 3n n →∞ 3n n →∞ 3 1 1 1 1
нашем примере общий член ряда в n-ой степени, в таких = lim − = lim − + =
a →∞ ln( x + 1) a →∞ ln( a + 1) ln 2 ln 2
случаях удобно пользоваться признаком Коши. 1
Несобственный интеграл имеет конечное значение, значит
он сходится и сходится наш ряд.
Задание. Исследовать на абсолютную, условную
сходимость знакопеременный ряд.
Числовой ряд называется знакопеременным, если
среди его членов имеются как положительные, так и
отрицательные числа. Числовой ряд называется
53 54
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
