Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 27 стр.

признак         выполняется. Сравним данный ряд с                                                          n + 1 n2
                                1 1         1                                                          (        )
гармоническим рядом: 1 + + + ... + + ...                                                           n         n
                                2 3         n                             lim
                                                                           n→∞
                                                                                  n   un = lim
                                                                                             n→∞             3n
                                                                                                                    =<
                                                   1      1
Для всех n≥2 выполняется неравенство                   > ⇒ , ряд
                                                  ln n n                                  n +1 n
                                                                                      (       )              n
расходится, т.к. его члены превосходят соответствующие                                      n     1      1 1
члены гармонического ряда, являющегося расходящимся.                      = lim                  = lim 1 +  = l ≈ 0,9 < 1,
                                                                               n→∞          3     3 n→∞  n  3
                            ∞ n!      1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3          n!
        2. Ряд              ∑       =   +     +        + ... +    + ...   следовательно, ряд сходится.
                           n =1 3 n   3 32       33            3n                   4. Ряд
Воспользуемся           признаком          Даламбера.          Имеем       ∞             1                 1           1                     1
      n!          (n + 1)! n(n + 1)                                        ∑                         =           +         +  ... +                      + ...
u n = n , u n+1 = n+1 ⋅ n+1 ,                                             n =1 ( n + 1) ln 2 (n + 1)    2 ln 2 2 3 ln 2 3           (1 + n) ln 2 (n + 1)
      3            3          3                                            Если общий член ряда довольно простое выражение, то
     u n+1        (n + 1)n! 3 n          n +1                             удобно пользоваться интегральным признаком Коши.
 lim       = lim       +
                           ⋅      = lim       = ∞ > 1.
u →∞ u n     n →∞ 3  n  1     n! n→∞ 3                                                     1              1
                                                                           lim                         = = 0.           Необходимый              признак
Следовательно, ряд расходится.                                                               2
                                                                          n→∞ ( n + 1) ln ( n + 1)        ∞
        3. Рассматриваемый                                        ряд     выполняется.              Условия           признака          выполняются:
                          4        4
       n + 1 n2        3       4                                          1            1           1                      1
     (       )                                                              2
                                                                                     >       2
                                                                                                 >      2
                                                                                                             > ... >
 ∞                2 2           3                                        2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4                      (1 + n) ln 2 (n + 1)
 ∑
         n
           n
                = +            +   + ... . Необходимый признак          ∞                                     a
n =1     3        3       9       27                                                 dx                              dx
                       (
                         n + 1 n2
                               )
                                               1 2
                                          (1 + ) n
                                                                          ∫1 ( x + 1)ln 2 ( x + 1) = lim   ∫
                                                                                                      a →∞ 1 ( x + 1)ln ( x + 1)
                                                                                                                       2
                                                                                                                                 =
                           n                   n          en
выполняется: lim                   = lim           = lim n = 0 . В                                         a
                  n →∞      3n       n →∞     3n     n →∞ 3                            1                    1         1  1
нашем примере общий член ряда в n-ой степени, в таких                     = lim  −             = lim  −            +      =
                                                                             a →∞  ln( x + 1)     a →∞  ln( a + 1)   ln 2  ln 2
случаях        удобно       пользоваться       признаком     Коши.                               1
                                                                          Несобственный интеграл имеет конечное значение, значит
                                                                          он сходится и сходится наш ряд.
                                                                                 Задание. Исследовать на абсолютную, условную
                                                                          сходимость знакопеременный ряд.
                                                                                 Числовой ряд называется знакопеременным, если
                                                                          среди его членов имеются как положительные, так и
                                                                          отрицательные     числа.   Числовой  ряд   называется

                                                                    53    54