Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 27 стр.

UptoLike

Рубрика: 

53
признак выполняется. Сравним данный ряд с
гармоническим рядом:
...
1
...
3
1
2
1
1 +++++
n
Для всех n
2 выполняется неравенство
>
nn
1
ln
1
, ряд
расходится, т.к. его члены превосходят соответствующие
члены гармонического ряда, являющегося расходящимся.
2.
Ряд ...
3
!
...
3
321
3
21
3
1
3
!
32
1
+++
+
+=
=
n
n
n
nn
Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем
11
1
3
)1(
3
)!1(
,
3
!
++
+
+
+
==
nn
n
n
n
nnn
u
n
u
,
1
3
1
!
3
3
!)1(
limlimlim
1
1
>=
+
=
+
=
+
+
n
n
nn
u
u
n
n
n
n
n
n
u
.
Следовательно, ряд расходится.
3.
Рассматриваемый ряд
...
27
3
4
9
2
3
3
2
3
)
1
(
44
1
2
+
+
+=
+
=n
n
n
n
n
. Необходимый признак
выполняется:
0
33
)
1
1(
3
)
1
(
limlimlim
22
==
+
=
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
e
nn
n
. В
нашем примере общий член ряда в n-ой степени, в таких
случаях удобно пользоваться признаком Коши.
54
2
1
()
3
1
()
111
10,91,
33 3
lim lim
lim lim
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
n
n
u
n
n
l
n
→∞ →∞
→∞ →∞
+
==
+

==+=<


<
следовательно, ряд сходится.
4.
Ряд
...
)1(ln)1(
1
...
3ln3
1
2ln2
1
)1(ln)1(
1
222
1
2
+
++
+++=
++
=
nnnn
n
Если общий член ряда довольно простое выражение, то
удобно пользоваться интегральным признаком Коши.
.0
1
)1(ln)1(
1
2
lim
=
=
++
nn
n
Необходимый признак
выполняется. Условия признака выполняются:
)1(ln)1(
1
...
4ln4
1
3ln3
1
2ln2
1
2222
++
>>>>
nn
22
11
1
( 1)ln ( 1) ( 1)ln ( 1)
1111
ln( 1) ln( 1) ln 2 ln 2
lim
lim lim
a
a
a
aa
dx dx
xx xx
xa
→∞
→∞ →∞
==
++ ++

=− =− +=

++

∫∫
Несобственный интеграл имеет конечное значение, значит
он сходится и сходится наш ряд.
Задание. Исследовать на абсолютную, условную
сходимость знакопеременный ряд.
Числовой ряд называется знакопеременным, если
среди его членов имеются как положительные, так и
отрицательные числа. Числовой ряд называется