Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 28 стр.

UptoLike

Рубрика: 

55
знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена
имеют противоположные знаки.
Признаки сходимости Лейбница: Если члены
знакочередующегося ряда монотонно убывают по
абсолютной величине и общий член u
n
0 при n→∞, то
ряд сходится.
Знакопеременный ряд называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд составленный из
абсолютных величин его членов.
Если знакопеременный ряд сходится, а
составленный из абсолютных величин его членов
расходится, то данный ряд сходится условно.
Задание. Найти радиус и интервал сходимости
степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах
интервала сходимости.
Степенным рядом называется ряд вида
()
2
001020
0
0
()()...
... ( ) ...,
n
n
n
n
n
axx a axx axx
ax x
=
−=+++
+−+
где
,...210
,...,,,
n
aaaa коэффициенты ряда, а член
n
n
xa
общий член ряда.
Областью сходимости степенного ряда называется
множество всех значений х, при которых данный ряд
сходится.
Число R называется радиусом сходимости
степенного ряда, если при x<R ряд сходится, и притом
абсолютно, а при x>R ряд расходится.
Радиус сходимости R можно найти, используя
признак Даламбера,
=
+
1
lim
n
n
n
a
a
R
т.е. радиус сходимости
равен пределу абсолютной величины отношения
56
коэффициента n-го члена a
n
к коэффициенту
последующего: a
n+1
. Промежуток –R<x<R называется
интервалом сходимости. На концах интервала ряд может
сходиться ( абсолютно или условно), но может и
расходиться. Сходимость ряда при x=-R, x=R исследуется с
помощью какого-либо из признаков сходимости.
Примеры:
2
00
4(1)
1). ( 3) ; 2). .
2!
n
n
nn
nn
x
x
n
∞∞
==
++
∑∑
Дан
ряд
=
+
0
)3(
2
4
n
n
n
x
n
. Определим радиус сходимости:
2 .2
5
)4(2
;
2
5
;
2
4
lim
1
1
==
+
+
=
+
=
+
=
+
+
R
n
n
R
n
a
n
a
n
n
n
n
n
Интервал сходимости определяется неравенством:
x-3<2 -2<x-3<2 или 1<x<5. Исследуем сходимость на
концах интервала сходимости. Подставляя значение х=1 в
данный ряд получим
=
=
=
+=
+
=
+
000
)4()1()2(
2
)1(
)31(
2
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
-
числовой знакочередующийся ряд. Этот ряд расходится,
т.к. не выполняется признак Лейбница.
Подставив х=5, получим ряд
=
=
+=
+
00
)4(2
2
4
nn
n
n
n
n
также расходящийся, т.к. не выполняется необходимый
признак сходимости
0)4(
lim
+
n
n
.
Следовательно, ряд сходится в открытом интервале
1<x<5.
2. Ряд
.
)1(!
2
)!1(
2
;
!
1
;
!
1
1
0
+
+
+
+
=
+
=
+
+
=
nn
n
n
n
a
n
n
ax
n
n
nn
n
n
Определим