Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

57
радиус сходимости:
2
2
2
2
1!( 1) ( 1)
!2 2
21
1
21 1
12
20
lim lim
lim lim
nn
nn
nnn n
k
nn n
nn
nn
n
nn
→∞ →∞
→∞ →∞
++ +
=⋅= =
++
++
⋅+
== ==∞
+
+
Следовательно, интервал сходимости ]-∞,+∞[, т.е.
данный ряд сходится на всей числовой оси.
Задание. Вычислить приближенно определенный
интеграл, используя разложение подинтегральной функции
в степенной ряд и почленное интегрирование полученного
ряда.
Если функция не интегрируется в конечном виде
или её интегрирование приводит к громоздким
вычислениям, то определенный интеграл от такой функции
вычисляется с помощью рядов. В этом случае
первообразную функцию сначала выражают в виде ряда, а
затем вычисляют определенный интеграл с заданными
пределами интегрирования. Число членов полученного
ряда определяется заданной точностью вычисления.
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих
функций.
...
)!2(
)1(...
!7!5!3!1
sin
...
!
...
!2!1
1
12
1
753
2
+
−
−++−+−=
+++++=
−
−
n
xxxxx
x
n
xxx
e
n
n
n
x
...
)!2(
)1(...
!6!4!2
1cos
2642
+−++−+−=
n
xxxx
x
n
n
58
234
1
ln(1 ) ... ( 1) ...,
234
11
n
n
xxx x
xx
n
x
−
+
=− + − ++− +
−
<≤
2
3
(1)
(1 ) 1
1! 2!
(1)(2)
...
3!
( 1)( 2)...( 1)
...
!
m
n
mmm
xx x
mm m
x
mm m m n
x
n
−
+−++ +
−−
+++
−− −+
+
+
...
!
)2)(1(
)1(...
!3
32
!2
2
!1
1
1
1
1
32
+
−
−
−++
⋅
−+−=
+
nn
x
n
nnn
xxx
x
11 ...,
12
)1(...
753
12
1
753
≤≤−+
−
−++−+−=
−
−
x
n
xxxx
xarctgx
n
n
.
Пример: Вычислить
dx
x
x
∫
−
2/1
0
2
cos1
с точностью до
0,0001. Заменив в подинтегральном выражении cosx его
разложением в степенной ряд, получим 
радиус                                                сходимости:                            x 2 x3 x 4                    n
                                                                                                                    n −1 x
          n + 1 n!(n + 1)         (n + 1)      2                             ln(1 + x) = x − + − + ... + (−1)                + ...,
k = lim        ⋅          = lim            =                                                 2     3 4                   n
     n→∞    n!    n+2        n →∞  n+2                                       −1 < x ≤ 1
                               2 1                                                        m      m(m − 1) 2
                          1+ + 2                                           (1 + x) m − 1 + x +            x +
       n ⋅ 2n + 1
         2
                               n n = 1 =∞                                                 1!        2!
= lim             = lim
           n+2              1 2          0                                   m(m − 1)(m − 2) 3
   n→∞               n →∞
                               + 2                                         +                    x + ... +
                            n n                                                       3!
       Следовательно, интервал сходимости ]-∞,+∞[, т.е.
данный ряд сходится на всей числовой оси.                                    m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1) n
                                                                           +                                x + ...
       Задание. Вычислить приближенно определенный                                          n!
интеграл, используя разложение подинтегральной функции                 1       1   2     2⋅3 3                n(n − 1)(n − 2) n
в степенной ряд и почленное интегрирование полученного                     = 1− x + x2 −     x + ... + (−1) n                x + ...
                                                                      1+ x     1!  2!     3!                         n!
ряда.
       Если функция не интегрируется в конечном виде
                                                                                     x3 x5 x7                   x 2 n−1
или её интегрирование            приводит к громоздким                arctgx = x −     +   −   + ... + (−1) n−1         + ..., − 1 ≤ x ≤ 1
вычислениям, то определенный интеграл от такой функции                               3   5   7                  2n − 1
вычисляется с помощью рядов. В этом случае                            .
первообразную функцию сначала выражают в виде ряда, а                                                  1 / 2 1 − cos x
                                                                            Пример: Вычислить           ∫  dx с точностью до
затем вычисляют определенный интеграл с заданными                                                     x20
пределами интегрирования. Число членов полученного                    0,0001. Заменив в подинтегральном выражении cosx его
ряда определяется заданной точностью вычисления.                      разложением в степенной ряд, получим
       Приведем разложения в ряд Маклорена следующих
функций.
               x x2          xn
       ex = 1+ +     + ... +    + ...
              1! 2!          n!
                   x x3 x5 x7                    x 2 n−1
         sin x =     −  +  −   + ... + (−1) n−1          + ...
                   1! 3! 5! 7!                  (2 − n)!
                       x2 x4 x6                 x 2n
         cos x = 1 −     +  −   + ... + (−1) n       + ...
                       2! 4! 6!                (2n)!



                                                                 57   58

Страницы