Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 29 стр.

UptoLike

Рубрика: 

57
радиус сходимости:
2
2
2
2
1!( 1) ( 1)
!2 2
21
1
21 1
12
20
lim lim
lim lim
nn
nn
nnn n
k
nn n
nn
nn
n
nn
→∞ →∞
→∞ →∞
++ +
=⋅= =
++
++
⋅+
== ==
+
+
Следовательно, интервал сходимости ]-,+[, т.е.
данный ряд сходится на всей числовой оси.
Задание. Вычислить приближенно определенный
интеграл, используя разложение подинтегральной функции
в степенной ряд и почленное интегрирование полученного
ряда.
Если функция не интегрируется в конечном виде
или её интегрирование приводит к громоздким
вычислениям, то определенный интеграл от такой функции
вычисляется с помощью рядов. В этом случае
первообразную функцию сначала выражают в виде ряда, а
затем вычисляют определенный интеграл с заданными
пределами интегрирования. Число членов полученного
ряда определяется заданной точностью вычисления.
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих
функций.
...
)!2(
)1(...
!7!5!3!1
sin
...
!
...
!2!1
1
12
1
753
2
+
+++=
+++++=
n
xxxxx
x
n
xxx
e
n
n
n
x
...
)!2(
)1(...
!6!4!2
1cos
2642
++++=
n
xxxx
x
n
n
58
234
1
ln(1 ) ... ( 1) ...,
234
11
n
n
xxx x
xx
n
x
+
=− + ++ +
<≤
2
3
(1)
(1 ) 1
1! 2!
(1)(2)
...
3!
( 1)( 2)...( 1)
...
!
m
n
mmm
xx x
mm m
x
mm m m n
x
n
+−++ +
−−
+++
−− +
+
+
...
!
)2)(1(
)1(...
!3
32
!2
2
!1
1
1
1
1
32
+
++
+=
+
nn
x
n
nnn
xxx
x
11 ...,
12
)1(...
753
12
1
753
+
+++=
x
n
xxxx
xarctgx
n
n
.
Пример: Вычислить
dx
x
x
2/1
0
2
cos1
с точностью до
0,0001. Заменив в подинтегральном выражении cosx его
разложением в степенной ряд, получим