Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

61
1) Уравнения с разделяющимися переменными
могут быть записаны в виде )()( yqxfy =
′
, а также в виде
)2( )()()()( dyyQxPdxyNxM
+
Для решения такого уравнения надо обе его части
умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну
часть уравнения входили только х, в другую – только у, и
затем проинтегрировать обе части.
При делении обеих частей уравнения на выражение,
содержащее неизвестные х и у, могут быть потеряны
решения, обращающие это выражение в нуль.
Пример: Решить уравнение
)3( 5,0)1( ,
2
==+
′
yyyyx
Приводим уравнение к виду (2):
.)( ,
22
dxyyxdyyy
dx
dy
x −=−=
Делим обе части уравнения на
)(
2
yyx −
:
x
dx
yy
dy
=
− )1(
.
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
x
x
C
yC
y
y
Cx
y
y
x
dx
yy
dy
−
==
−
+=
−
=
−
∫∫
1
1
,
1
;lnln
1
ln ;
)1(
При делении на
)(
2
yyx − могли быть потеряны решения
х=0, у=0 и у=1. Очевидно, у=0 и у=1 – решения уравнения
(3), а х=0 – нет.
Мы получили общее решение уравнения (3)
x
C
y
−
=
1
1
.
Учитывая начальное условие у(1)=0,5, найдем частное
решение уравнения
62
x
yCC
C +
=−==−
−
=
1
1
,1 ,1)1(5,0 ,
1
1
5,0- частное
решение уравнения (3).
2. Однородные уравнения могут быть записаны в
виде
=
′
x
y
fy , а также в виде
,),(),( dyyxNdxyxM
+
где
),( и ),( yxNyxM - однородные функции одной и той же
степени. (Функция
),( yxM называется однородной
функцией степени n, если для всех k>0 имеем
),(),( yxMkkykxM
n
= ).
Чтобы решить однородное уравнение, можно
сделать замену у=ux, после чего получается уравнение с
разделяющимися переменными.
Пример: Решить уравнение dxyxxdy )(
+
=
.
Это уравнение – однородное. Полагаем у=ux. Тогда
xduudxdy
+
=
. Подставляя в уравнение, получим:
. , ;)()(
2
dxxduxdxduxdxuxxxduudxx ==+=+ Решаем
полученное уравнение с разделяющимися переменными
.ln, Cxu
x
dx
du +==
Возвращаясь к старому переменному у, получим:
).(ln Cxxy += Кроме того, имеется решение х=0, которое
было потеряно при делении на х.
3. Уравнение )1( )()( xQyxPy
=
+
′
называется
линейным. Существуют два способа решения линейного
уравнения:
а) подстановкой )()( xvxuy
⋅
=
уравнение
приводится к двум уравнениям с разделяющимися
переменными;
б) метод вариации произвольной постоянной, по
которому надо сначала решить уравнение 0)( =
+
′
yxpy 
         1) Уравнения с разделяющимися переменными                              1                                  1
могут быть записаны в виде y ′ = f ( x)q( y ) , а также в виде        0,5 =        , 0,5(1 − C ) = 1, C = −1, y =      -      частное
                                                                            1− C                                  1+ x
M ( x) N ( y )dx + P( x)Q( y )dy (2)                                  решение уравнения (3).
         Для решения такого уравнения надо обе его части                       2. Однородные уравнения могут быть записаны в
умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну                              y
                                                                      виде y′ = f   , а также в виде M ( x, y )dx + N ( x, y )dy, где
часть уравнения входили только х, в другую – только у, и                             x
затем проинтегрировать обе части.                                     M ( x, y ) и N ( x, y ) - однородные функции одной и той же
         При делении обеих частей уравнения на выражение,
                                                                      степени. (Функция M ( x, y ) называется однородной
содержащее неизвестные х и у, могут быть потеряны
решения, обращающие это выражение в нуль.                             функцией степени n, если для всех k>0 имеем
         Пример:                  Решить             уравнение        M (kx, ky ) = k n M ( x, y ) ).
              2
 xy ′ + y = y , y (1) = 0,5 (3)                                                Чтобы решить однородное уравнение, можно
         Приводим           уравнение    к       виду      (2):       сделать замену у=ux, после чего получается уравнение с
   dy                                                                 разделяющимися переменными.
 x     = y 2 − y, xdy = ( y 2 − y )dx.                                         Пример: Решить уравнение xdy = ( x + y )dx .
   dx
                                                                               Это уравнение – однородное. Полагаем у=ux. Тогда
                                              dy       dx             dy = udx + xdu . Подставляя в уравнение, получим:
Делим обе части уравнения на x( y 2 − y ) :          =    .
                                          y ( y − 1)    x             x(udx + xdu ) = ( x + ux)dx; x 2 du = xdx, xdu = dx. Решаем
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:                полученное уравнение с разделяющимися переменными
                                                                           dx
                                                                      du = , u = ln x + C.
        dy        dx    y −1                 y −1               1           x
∫              = ∫ ; ln      = ln x + ln C ;      = Cx , y =
    y ( y − 1)     x      y                    y             1 − Cx          Возвращаясь к старому переменному у, получим:
                                                                      y = x(ln x + C ). Кроме того, имеется решение х=0, которое
При делении на x( y 2 − y ) могли быть потеряны решения
х=0, у=0 и у=1. Очевидно, у=0 и у=1 – решения уравнения               было потеряно при делении на х.
(3), а х=0 – нет.                                                           3. Уравнение y ′ + P( x) y = Q( x) (1) называется
                                                    1                 линейным. Существуют два способа решения линейного
Мы получили общее решение уравнения (3) y =             .             уравнения:
                                                 1 − Cx
                                                                            а) подстановкой          y = u ( x) ⋅ v( x) уравнение
Учитывая начальное условие у(1)=0,5, найдем частное
                                                                      приводится к     двум уравнениям с разделяющимися
решение                                       уравнения
                                                                      переменными;
                                                                            б) метод вариации произвольной постоянной, по
                                                                      которому надо сначала решить уравнение y ′ + p( x) y = 0

                                                                 61   62

Страницы