Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 32 стр.

UptoLike

Рубрика: 

63
путем разделения переменных и в общем решении
последнего заменить произвольную постоянную С на
неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное
для у, подставляют в уравнение (1) и находят функцию
С(х).
II. Уравнения, допускающие понижение порядка.
1. Если в уравнение не входит искомая функция у,
т.е. оно имеет вид
(
)
0,...,,,
)()1()(
=
+ nkk
yyyxF , то порядок
уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную
функцию низшую из производных, входящих в уравнение,
т.е. сделав замену
.
)(
py
k
=
2. Если в уравнение не входит независимое
переменное х, т.е. уравнение имеет вид
0),...,,,(
)(
=
n
yyyxF , то порядок уравнения можно
понизить, взяв за новое независимое переменное у, а за
неизвестную функцию )( ypy =
.
3. Уравнение вида
)(
)(
xfy
n
= решается
последовательным n- кратным интегрированием правой
части. При каждом интегрировании получается одно
произвольное постоянное, а в окончательном результате
n произвольных постоянных.
Для упрощения расчетов в вариантах контрольной
работы рассмотрены дифференциальные уравнения 2-го
порядка, понизив порядок которых, мы приходим к
дифференциальным уравнениям I- го порядка, решать
которые мы уже умеем.
Пример:
1)
1
+
=
ytgxy
. Это уравнение второго порядка
вида
0),,(
=
yyxF , не содержащее у. Положим
)(),( xpyxpy
=
, тогда 1)()(
+
=
xptgxxp уравнение с
разделяющимися переменными.
64
tgx
dx
p
dp
=
+1
интегрируя, получим
.1sin ;sin1 ;lnsinln1ln
11
==++=+ xCpxCpCxp
Возвращаясь к замене, имеем
1sin
1
=
xCy , интегрируя,
находим искомое решение:
21
cos CxxCy
+
=
- ответ.
2) yyy
=
2. Это уравнение второго порядка вида
не содержащее х. Положим
)()(),( ypypyypy
=
=
получаем уравнение первого
порядка 0]2)()[( );(2)()(
=
=
yypypyypypyp .
а) ;cos;0)(,0)( tyxyyp
=
=
=
б)
;2;2)( y
dy
dp
yyp ==
ydydp 2
=
, интегрируя имеем:
1
2
Cyp += ,
возвращаясь к замене, получим
,
1
,;
2
11
1
2
1
2
Cx
C
y
arctg
C
dx
Cy
dy
Cyy +==
+
+=
в силу
произвольности выбора постоянной представим
2
11 1
12 12
1
11 2
1
,
(), ( ),
()
yy
arctg x arctg
CC C
y
Cx C tgCx C
C
yCtgCxC
=
+=
=+ = +
=+
- общее решение уравнения, учитывая: а) у=с.
III. Линейные однородные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Рассмотрим однородное линейное уравнение
второго порядка.