Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 32 стр.

путем разделения переменных и в общем решении                                  dp     dx
последнего заменить произвольную постоянную С на                                   =                      интегрируя,                  получим
                                                                              p + 1 tgx
неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное
                                                                             ln p + 1 = ln sin x + ln C ; p + 1 = C1 sin x; p = C1 sin x − 1.
для у, подставляют в уравнение (1) и находят функцию
С(х).                                                                        Возвращаясь к замене, имеем y ′ = C1 sin x − 1 , интегрируя,
          II. Уравнения, допускающие понижение порядка.                      находим искомое решение: y = −C1 cos x − x + C 2 - ответ.
          1. Если в уравнение не входит искомая функция у,                           2) y ′′ = 2 y ⋅ y ′ . Это уравнение второго порядка вида
                           (                        )
т.е. оно имеет вид F x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) = 0 , то порядок   не                  содержащее                  х.                  Положим
уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную                          y ′ = p( y ), y ′′ = p ′( y ) ⋅ p( y ) получаем уравнение первого
функцию низшую из производных, входящих в уравнение,                         порядка p ′( y ) p( y ) = 2 yp( y ); p ′( y )[ p ′( y ) − 2 y ] = 0 .
т.е. сделав замену y ( k ) = p.                                                      а) p( y ) = 0, y ′( x) = 0; y = cos t ;
          2. Если в уравнение не входит независимое                                                          dp
переменное                х,   т.е. уравнение               имеет      вид           б) p ′( y ) = 2 y;          = 2 y;
                                                                                                             dy
                       ( n)
F ( x, y ′, y ′′,..., y ) = 0 , то порядок уравнения можно
                                                                                              dp = 2 ydy , интегрируя имеем:    p = y 2 + C1 ,
понизить, взяв за новое независимое переменное у, а за
                                                                             возвращаясь                 к         замене,           получим
неизвестную функцию y ′ = p( y ) .
                                                                                                 dy            1        y
         3.       Уравнение       вида        y ( n) = f ( x)  решается       y ′ = y 2 + C1 ; 2       = dx,−     arctg    = x + C 2 , в силу
                                                                                               y + C1          C1       C1
последовательным n- кратным интегрированием правой
                                                                             произвольности выбора постоянной представим
части. При каждом интегрировании получается одно
произвольное постоянное, а в окончательном результате –                                     1       y               y
                                                                                               arctg = x + 2 , arctg =
n произвольных постоянных.                                                                  C1      C1              C1
         Для упрощения расчетов в вариантах контрольной
                                                                                                               y
работы рассмотрены дифференциальные уравнения 2-го                                          = C1 ( x + C2 ),      = tg (C1 x + C2 ),
порядка, понизив порядок которых, мы приходим к                                                                C1
дифференциальным уравнениям I- го порядка, решать
которые мы уже умеем.                                                                        y = C1tg (C1 x + C2 )
         Пример:
         1) y ′′tgx = y ′ + 1 . Это уравнение второго порядка                - общее решение уравнения, учитывая: а) у=с.
вида F ( x, y ′, y ′′) = 0 , не содержащее у. Положим                              III.   Линейные     однородные      уравнения с
                                                                             постоянными коэффициентами.
 y ′ = p( x), y ′′p ′( x) , тогда p ′( x)tgx = p ( x) + 1 – уравнение с
                                                                                   Рассмотрим однородное линейное уравнение
разделяющимися переменными.                                                  второго порядка.


                                                                       63    64