Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 34 стр.

              уравнения кратности r                                В полученном равенстве приравняем коэффициенты при
                                                                   одинаковых степенях х.
                                                                   x         − 2A = 1
        Здесь Pm ( x), S m ( x) – многочлены от х степени m;       св.члены 2 A − B = 1
Qm ( x), Rm ( x), Tm ( x) - многочлены от х той же степени, что    Решаем систему двух уравнений относительно двух
и Pm ( x), S m ( x) , но с неопределенными коэффициентами.         неизвестных               А                 и           В:
                                                                         1                1
        Чтобы найти неопределенные коэффициенты                    A = − , B = −2; y ∗ = − x 2 − 2 x. Запишем решение данного
многочленов, надо частное решение подставить в                           2                2
дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты                                                     1
                                                                   уравнения y = y + y ∗ = C1 + C 2 e x − x 2 − 2 x.
при подобных членах в левой и правой частях уравнения.                                                   2
        Пример: Решить уравнение y ′′ − y ′ = x + 1.
       Решение: y = y + y ∗                                                        Теория вероятностей
                                                                         Элементы комбинаторики.
1. Найдем общее решение y однородного уравнения
   y ′′ − y ′ = 0 . Соответствующее характеристическое                    Перестановки.              Множество   называется
                                                                   упорядоченным, если каждому элементу этого множества
   уравнение     k 2 − k = 0, k1 = 0, k 2 = 1.   Общее решение     поставлено в соответствие число (номер элемента) от 1 до
   однородного уравнения y = c1e 0⋅x + c 2 e1⋅x = c1 + c 2 e x ,   n – число элементов множества. Требуется найти: число
   согласно таблице 1(случай 1).                                   различных способов, которыми может быть упорядочено
                                                                   данное множество, т.е. число перестановок множества.
2. Составим частное решение y ∗ , правая часть данного             Пусть множество А имеет n элементов, обозначим число
   неоднородного линейного уравнения f(x)=x+1 имеет                его перестановок через Pn.
   вид     e 0⋅x ⋅ P1 ( x).   Число  0 является      корнем               Справедлива теорема:
   характеристического уравнения кратности r=1 (случай                    Pn = n!, где n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n.
   1 в таблице 2).                                                        Задача: сколькими способами можно разместить на
Частное решение надо искать в виде y ∗ = x( Ax + B ) .             полке 4 книги?
Неопределенные коэффициенты А и В необходимо найти.                       Решение: множество состоит из 4 книг (4 элемента),
                                                                   то Pn=1⋅2⋅3⋅4=24.
            ′         ∗″    ′
Найдем y ∗ и y , y ∗ = Ax + B + Ax = 2 Ax + B, y ∗′′ = 2 A.               Сочетание. Задано некоторое множество А, то
                                                                   можно рассматривать новое множество М(А) – множество
                                 ′  ∗″
Подставив выражение для y ∗ и y , в уравнение, получим             всех его подмножеств. Через Мk(А) обозначим множество
равенство: 2А-2Ах-В=х+1; -2Ах+2А-В=х+1.                            всех подмножеств А, которые имеют k – элементов (k