Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 33 стр.

UptoLike

Рубрика: 

65
0
=
+
+
qyypy - где p и q постоянные. Чтобы найти
общее решение надо:
1)
Составить характеристическое уравнение
0
2
=++ qpkk . Решить его как квадратное уравнение.
2) Найти общее решение по таблице 1.
Таблица 1.
Корни
характеристического
уравнения
Вид общего решения уравнения
21
kk -
действительные
различные числа
21
kk = -
действительные
равные числа
ik
β
α
+=
2,1
-
комплексные
сопряженные
xkxk
eCeCy
2
2
1
1
+=
(
)
xkxkxk
exCCxeCeCy
1
21
2
2
1
1
+=+=
()
xCxCey
x
ββ
α
sincos
21
+=
Пример: Найти общее решение уравнения
а) 034
=
+
yyy
Решение: Это линейное однородное уравнение второго
порядка.
1)
Составим характеристическое уравнение (с помощью
подстановки Эйлера)
1 ,3k 12 ,034 ,
212,1
2
==±==+= kkkkey
kx
-
действительные и разные.
2)
Искомое общее решение имеет вид:
xx
eCeCy
2
3
1
+= -
ответ.
б) 054
=
+
yyy
1) Характеристическое уравнение
ikkk ±==+ 2 ,054
2,1
2
- комплексные сопряженные.
66
Общее решение имеет вид )sincos(
21
2
xCxCey
x
+= -
ответ.
IV. Линейные неоднородные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
)(xfqyypy
=
+
+
- линейное неоднородное
уравнение.
Общее решение неоднородного уравнения
+= yyy , где y - общее решение соответствующего
однородного уравнения,
y - частное решение
неоднородного уравнения.
1.
Общее решение y мы умеем находить.
2.
Рассмотрим составление
y .
Форма частного решения линейного неоднородного
уравнения в зависимости от вида правой части f(x) и
корней характеристического уравнения приведена в
таблице 2.
Таблица 2.
Вид
правой
части
Корни
характеристического
уравнения
Вид частного
решения
P
m
(x)
P
m
(x)е
α
х
e
αx
[
P
m
(x)cosβх
+S
m
(x)sinβ
x]
Число 0 является
корнем
характеристического
уравнения кратности r
Число α является
корнем
характеристического
уравнения кратности r
Число i
β
α
±
является корнем
характеристического
)(xQx
m
r
x
m
r
exQx
α
)(
[()cos
()sin ]
r
m
m
x
Rx x
Tx x
β
β
+
+