Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

65
0
=
+
′
+
′′
qyypy - где p и q постоянные. Чтобы найти
общее решение надо:
1)
Составить характеристическое уравнение
0
2
=++ qpkk . Решить его как квадратное уравнение.
2) Найти общее решение по таблице 1.
Таблица 1.
Корни
характеристического
уравнения
Вид общего решения уравнения
21
kk ≠ -
действительные
различные числа
21
kk = -
действительные
равные числа
ik
β
α
+=
2,1
-
комплексные
сопряженные
xkxk
eCeCy
2
2
1
1
+=
(
)
xkxkxk
exCCxeCeCy
1
21
2
2
1
1
+=+=
()
xCxCey
x
ββ
α
sincos
21
+=
Пример: Найти общее решение уравнения
а) 034
=
+
′
−
′′
yyy
Решение: Это линейное однородное уравнение второго
порядка.
1)
Составим характеристическое уравнение (с помощью
подстановки Эйлера)
1 ,3k 12 ,034 ,
212,1
2
==±==+−= kkkkey
kx
-
действительные и разные.
2)
Искомое общее решение имеет вид:
xx
eCeCy
2
3
1
+= -
ответ.
б) 054
=
+
′
−
′′
yyy
1) Характеристическое уравнение
ikkk ±==+− 2 ,054
2,1
2
- комплексные сопряженные.
66
Общее решение имеет вид )sincos(
21
2
xCxCey
x
+= -
ответ.
IV. Линейные неоднородные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
)(xfqyypy
=
+
′
+
′
′
- линейное неоднородное
уравнение.
Общее решение неоднородного уравнения
∗
+= yyy , где y - общее решение соответствующего
однородного уравнения,
∗
y - частное решение
неоднородного уравнения.
1.
Общее решение y мы умеем находить.
2.
Рассмотрим составление
∗
y .
Форма частного решения линейного неоднородного
уравнения в зависимости от вида правой части f(x) и
корней характеристического уравнения приведена в
таблице 2.
Таблица 2.
Вид
правой
части
Корни
характеристического
уравнения
Вид частного
решения
P
m
(x)
P
m
(x)е
α
х
e
αx
[
P
m
(x)cosβх
+S
m
(x)sinβ
x]
Число 0 является
корнем
характеристического
уравнения кратности r
Число α является
корнем
характеристического
уравнения кратности r
Число i
β
α
±
является корнем
характеристического
)(xQx
m
r
⋅
x
m
r
exQx
α
)(⋅
[()cos
()sin ]
r
m
m
x
Rx x
Tx x
β
β
+
+
y ′′ + py ′ + qy = 0 - где p и q постоянные. Чтобы найти                   Общее решение имеет вид y = e 2 x (C1 cos x + C 2 sin x) -
общее решение надо:                                                        ответ.
1) Составить             характеристическое               уравнение                IV. Линейные неоднородные уравнения второго
       2
      k + pk + q = 0 . Решить его как квадратное уравнение.                порядка с постоянными коэффициентами.
2) Найти общее решение по таблице 1.                                                y ′′ + py ′ + qy = f (x) - линейное неоднородное
Таблица 1.                                                                 уравнение.
Корни                      Вид общего решения уравнения                            Общее решение неоднородного уравнения
характеристического                                                         y = y + y ∗ , где y - общее решение соответствующего
уравнения
k1 ≠ k 2 -                                                                 однородного уравнения,    y ∗ - частное          решение
                           y = C1e k1x + C 2 e k2 x
действительные                                                             неоднородного уравнения.
                          y = C1e k1x + C 2 xe k2 x = (C1 + C 2 x )e k1x   1. Общее решение y мы умеем находить.
различные числа
k1 = k 2 -                                                                 2. Рассмотрим составление y ∗ .
действительные             y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
                                                                                  Форма частного решения линейного неоднородного
равные числа                                                               уравнения в зависимости от вида правой части f(x) и
k1, 2 = α + βi -                                                           корней характеристического уравнения приведена в
комплексные                                                                таблице 2.
сопряженные                                                                       Таблица 2.
Пример: Найти общее решение уравнения                                                  Корни                 Вид          частного
       а) y ′′ − 4 y ′ + 3 y = 0                                           Вид         характеристического   решения
                                                                           правой      уравнения
Решение: Это линейное однородное уравнение второго
                                                                           части
порядка.
1) Составим характеристическое уравнение (с помощью                        Pm(x)       Число 0 является x r ⋅ Q (x)
                                                                                                                    m
   подстановки                                        Эйлера)                          корнем
         kx      2                                                                     характеристического
    y = e , k − 4k + 3 = 0, k1, 2 = 2 ± 1 k1 = 3, k 2 = 1 -
                                                                                       уравнения кратности r   r           αx
    действительные и разные.                                                     α
                                                                           Pm(x)е х    Число α является x ⋅ Qm ( x)e
2) Искомое общее решение имеет вид: y = C1e 3 x + C 2 e x -                            корнем
    ответ.                                                                             характеристического
                                                                            αx
       б) y ′′ − 4 y ′ + 5 y = 0                                           e [         уравнения кратности r
1)                Характеристическое             уравнение                 Pm(x)cosβх Число           α ± βi x r [ R ( x )cos β x +
                                                                                                                    m
  2                                                                        +Sm(x)sinβ является       корнем
k − 4k + 5 = 0, k1,2 = 2 ± i - комплексные сопряженные.
                                                                           x]          характеристического   +Tm ( x)sin β x]

                                                                     65    66

Страницы