Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 24 стр.

5) Интегрирование методом замены переменной состоит в                                   dx
                                                                                 2. ∫       = ln x + C
   переходе от переменной х к новой переменной t: х=ϕ(t).                                x
Формула      Ньютона-Лейбница        для     вычисления                          3.   ∫ sin xdx = − cos x + C
определенного        интеграла         имеет        вид:                         4.   ∫ cos xdx = sin x + C
b                       b
∫   f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a),        если   F/(x)=f(x)   и            5.
                                                                                          dx
                                                                                                = −ctgx + C
a                                                                                     ∫
                                                                                        sin 2 x
первообразная F(x) непрерывна на отрезке [a,b].
                                                                                           dx
      Если промежуток интегрирования не ограничен                                6.   ∫         = tgx + C
(например b=∞) или функция f(x) не ограничена в                                         cos 2 x
окрестности одного из пределов интегрирования                                    7.   ∫ tgxdx = − ln cos x + C
(например, при х=b), то по определению полагают                                  8. ∫ ctgxdx = ln sin x + C
∞                       b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx;      (6)                                                dx      1        x
a               b→∞ a                                                            9. ∫ 2      2
                                                                                               = arctg + C
                                                                                       a +x      a        a
          b                    b −δ
          ∫   f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx; (7)                                              dx              x
          a                 ε →0 a                                               10. ∫           = arcsin + C
                                                                                        a2 − x2           a
       Интегралы в левых частях равенств (6) и (7)
называются несобственными. Несобственный интеграл                                          dx
                                                                                 11. ∫             = ln x + x 2 + k + C
называется сходящимся, если существует конечный предел                                     2
                                                                                          x +k
в правой части равенств (6) и (7).                                                         dx         1    a+x
       Площадь криволинейной трапеции, ограниченной                              12. ∫            =     ln     +C
кривыми y = f 2 ( x), y = f1 ( x)  f1 ( x) ≤ f 2 ( x) и прямыми                        a2 − x2        2a a − x
х=a, x=b, находится по следующей формуле:                                        13. ∫ e x dx = e x + C
                b                                                                                  ax
          S = ∫ ( f 2 ( x) − f1 ( x))dx                                          14. ∫ a x dx =        +C
                a                                                                                 ln a
      Объем тела, образованного вращением вокруг оси                             Примеры:
ОХ криволинейной трапеции, находится по формуле:                                                    1
                    b
                                                                         1) ∫ cos(1 − 4 x)dx = − sin(1 − 4 x) + C
                                                                                                    4
          V x = π ∫ ( f 22 ( x) − f12 ( x))dx
                    a                                                    2)
          Таблица интегралов:                                                  dx                             1 (1 + 5 x) 2 / 3       3
                                                                         ∫3          = ∫ (1 + 5 x) −1/ 3 dx =                   +C =    (1 + 5 x) 2 + C
                        x n+1                                                1 + 5x                           5     2 / 3            10
          1. ∫ x n dx =       + C , n ≠ −1
                        n +1

                                                                    47   48