Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

35
Таким же образом проверяется, что 2
1/х
стремится к нулю,
когда х стремится к нулю слева (в этом случае
−∞→
x
1
).
Пример 22:
Функция
x
xf
/1
21
1
)(
+
=
имеет разрыв в
точке х
0
=0,
1
01
1
21
1
)(
/1
0000
limlim
=
+
=
+
=
−→−→
x
xx
xf
0
1
21
1
)(
/1
0000
limlim
=
∞
=
+
=
+→+→
x
xx
xf
Функция имеет в этой точке разрыв первого рода. Сама
функция в точке х
0
=0 не определена.
Пример 23:
Функция
x
x
y
sin
= в точке х
0
=0 имеет устранимый разрыв,
пределы этой функции справа и слева при х→0
существуют и равны 1, однако функция не определена при
36
х
0
=0 (см. рис.). Разрыв этот можно устранить, доопределив
функцию в точке х
0
=0, полагая f(0)=1.
Пример 24:
=
≠
−
−
=
1 для ,
2
1
1 для ,
1
1
)(
2
x
x
x
x
xf
. Эта функция имеет
устранимый разрыв в
точке х
0
=1 (см. рис.).
Устранить разрыв можно, изменив значение функции в
этой точке и положив f(1)=2.
Дифференциальное исчисление функций
одной и нескольких переменных.
1. Основные понятия.
Определение 1. Производной функции по аргументу
х называется предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда последнее стремится к
нулю:
.)(
)()(
limlim
00
dx
dy
yxf
x
xfxxf
x
y
x
xx
=
′
=
′
=
∆
−
∆
+
=
∆
∆
→∆→∆
1)
Скорость есть производная от пути по времени:
t
t
S
t
S
v
′
=
∆
∆
=
→∆
lim
0
.
2)
Ускорение есть производная от скорости по
времени:
t
t
v
t
v
a
′
=
∆
∆
=
→∆
lim
0
.
3)
Теплоемкость есть производная от количества
тепла по температуре:
0
0
0
0
lim
t
t
Q
t
Q
C
′
=
∆
∆
=
→∆
.
1
1/2 
Таким же образом проверяется, что 21/х стремится к нулю,       х0=0 (см. рис.). Разрыв этот можно устранить, доопределив
                                             1                 функцию в точке х0=0, полагая f(0)=1.
когда х стремится к нулю слева (в этом случае → −∞ ).
                                             x
       Пример 22:                                                     Пример 24:
                                                                                                       x2 −1
                                                                                                            , для x ≠ 1
                                                                                             f ( x) =  x − 1
                                                                             1/2                        1 , для x = 1
                                                                                   1                    2
                                                                                            . Эта функция имеет
                                                  Функция                                   устранимый разрыв в
                                                       1                                    точке х0=1 (см. рис.).
                                          f ( x) =
                                                   1 + 21/ x   Устранить разрыв можно, изменив значение функции в
                                    имеет разрыв в             этой точке и положив f(1)=2.
                                    точке х0=0,
                                                                       Дифференциальное исчисление функций
                                                                        одной и нескольких переменных.
                      1                 1                            1. Основные понятия.
 lim   f ( x) = lim       =                 =1
x→0−0           x → 0 − 0 1 + 21 / x   1+ 0                          Определение 1. Производной функции по аргументу
                            1         1                        х называется предел отношения приращения функции к
  lim f ( x ) = lim           1/ x
                                    =   =0                     приращению аргумента, когда последнее стремится к
x →0 + 0       x →0 + 0 1 + 2         ∞
                                                               нулю:
Функция имеет в этой точке разрыв первого рода. Сама
                                                                           ∆y         f ( x + ∆x) − f ( x)                      dy
функция в точке х0=0 не определена.                                   lim      = lim                        = f ′( x) = y ′x = .
         Пример 23:                                                  ∆x→0 ∆x     ∆x→0          ∆x                               dx
                                                                     1) Скорость есть производная от пути по времени:
                                                                                   ∆S
                                                                         v = lim      = S t′ .
                                                                             ∆t →0 ∆t
                                                                     2) Ускорение есть производная от скорости по
                                                                                               ∆v
            sin x                                                        времени: a = lim         = vt′ .
Функция y =       в точке х0=0 имеет устранимый разрыв,                                 ∆t →0 ∆t
              x                                                      3) Теплоемкость есть производная от количества
пределы этой функции справа и слева при х→0                                                                       ∆Q
                                                                         тепла по температуре: C = lim                 = Q ′0 .
существуют и равны 1, однако функция не определена при                                                    ∆t 0 →0 ∆t
                                                                                                                     0      t



                                                         35    36

Страницы