Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

73
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Суммой двух событий А и В называется событие С,
состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В
(событие С состоит в выполнении события А или события
В, или обоих вместе).
Произведением двух событий А и В называется
событие С, состоящее в совместном появлении события А
и события В.
Два события называют независимыми, если
вероятность одного из них не зависит от появления или не
появления другого, в противном случае два события
называют зависимыми.
События называют несовместными, если появление
одного из них исключает появление других событий в
одном и том же испытании.
Справедливы теоремы:
1.
Вероятность появления одного из двух
несовместных событий безразлично каого, равна
сумме вероятностей этих событий
(4) )()()( BPAPBAP +
=
+
2.
Вероятность совместного появления двух
независимых событий А и В равна
произведению вероятностей этих событий.
(5) )()()( BPAPBAP ⋅
=
⋅
3.
Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместных событий А и В равна
(6) )()()()( ABPBPAPBAP −+
=
+
4.
Вероятность совместного появления двух
зависимых событий А и В равна произведению
одного из них на деловую вероятность второго
(7) )()()( BPAPBAP
A
⋅
=
⋅
74
Вероятность события В, вычисленная при условии, что
имело место другое событие А, называется условной
вероятностью события В и обозначатся
)(BP
A
.
Задача 5. В урне находится 5 белых. 4 черных и 3
синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу
извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти
вероятность того, что при первом испытании появится
белый шар (событие А), при втором – черный (событие В)
и при третьем – синий (событие С).
Решение. Вероятность появления белого шара при
первом испытании
12
5
)( =AP (вычисление Р(А)
произведено согласно (1)).
Вероятность появления черного шара при втором
испытании, вычисленное в предположении, что при первом
испытании появится белый шар, т.е. условная вероятность
11
4
)( =BP
A
. После извлечения белого шара в урне осталось
11 шаров, а было 12 (5+4+3). Среди 11 оставшихся шаров 4
черных. Вероятность появления синего шара при третьем
испытании, вычисленная в предположении, что при первом
испытании появился белый шар, а при втором – черный
10
3
)( =CP
AB
. Искомая вероятность
22
1
10
3
11
4
12
5
)()()()( =⋅⋅== CPBPAPABCP
ABA
.
Случайной называют величину, которая в
результате испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от
случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Понятие случайной величины является одним из основных 
       Теоремы сложения и умножения вероятностей.                Вероятность события В, вычисленная при условии, что
       Суммой двух событий А и В называется событие С,           имело место другое событие А, называется условной
состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В            вероятностью события В и обозначатся PA ( B ) .
(событие С состоит в выполнении события А или события                    Задача 5. В урне находится 5 белых. 4 черных и 3
В, или обоих вместе).                                            синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу
       Произведением двух событий А и В называется               извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти
событие С, состоящее в совместном появлении события А            вероятность того, что при первом испытании появится
и события В.                                                     белый шар (событие А), при втором – черный (событие В)
       Два события называют независимыми, если                   и при третьем – синий (событие С).
вероятность одного из них не зависит от появления или не                 Решение. Вероятность появления белого шара при
появления другого, в противном            случае два события                                               5
называют зависимыми.                                             первом         испытании         P ( A) = (вычисление      Р(А)
                                                                                                          12
       События называют несовместными, если появление
                                                                 произведено согласно (1)).
одного из них исключает появление других событий в
                                                                         Вероятность появления черного шара при втором
одном и том же испытании.
                                                                 испытании, вычисленное в предположении, что при первом
       Справедливы теоремы:
                                                                 испытании появится белый шар, т.е. условная вероятность
       1. Вероятность появления одного из двух
                                                                            4
          несовместных событий безразлично каого, равна          PA ( B) = . После извлечения белого шара в урне осталось
          сумме          вероятностей        этих     событий              11
          P ( A + B ) = P( A) + P( B)        (4)                 11 шаров, а было 12 (5+4+3). Среди 11 оставшихся шаров 4
       2. Вероятность совместного появления двух                 черных. Вероятность появления синего шара при третьем
          независимых            событий  А     и  В     равна   испытании, вычисленная в предположении, что при первом
          произведению вероятностей этих событий.                испытании появился белый шар, а при втором – черный
          P ( A ⋅ B) = P( A) ⋅ P( B)       (5)                                3
                                                                 PAB (C ) = .                   Искомая              вероятность
       3. Вероятность появления хотя бы одного из двух                       10
          совместных           событий    А     и  В     равна                                          5 4 3   1
                                                                 P ( ABC ) = P( A) PA ( B) PAB (C ) = ⋅ ⋅ =        .
          P ( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB)        (6)                                               12 11 10 22
       4. Вероятность совместного появления двух
          зависимых событий А и В равна произведению                   Случайной называют величину, которая в
          одного из них на деловую вероятность второго           результате испытания примет одно и только одно
          P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ PA ( B )   (7)                  возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от
                                                                 случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
                                                                 Понятие случайной величины является одним из основных


                                                           73    74

Страницы