Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

75
понятий в теории вероятностей, как и понятия «события»
и «вероятность».
Дискретной называют случайную величину, которая
принимает отдельные, изолированные возможные значения
с определенными вероятностями.
Примеры: 1) число появлений герба при трех
бросаниях монеты (возможные значения 0,1,2,3); 2) число
отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти
элементов (возможные значения 0,1,2,3,4,5); 3) число
выбитых очков при стрельбе по мишени на каждые 100
выстрелов.
Непрерывной называют случайную величину,
которая может принимать все значения из некоторого
конечного или бесконечного промежутка.
Примеры: 1) время безотказной работы лампы, 2)
температура помещения, 3) вес зерна пшеницы.
Мы будем обозначать случайные величины
прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения
соответствующими строчными буквами x,y,z.
Рассмотрим случайную величину Х, возможные
значения которой сплошь заполняют интервал (а,b). Пусть
х – действительное число. Вероятность события, состоящее
в том, что Х примет значение меньшее х, т.е. вероятность
события Х<х обозначим через F(x) и назовем интегральной
функцией.
Свойства интегральной функции F(x):
1)
;1)(0 ≤≤ xF
2)
1212
если ),()( xxxFxF >>
3)
Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу (а,b), то F(x)=0, при х ≤ а;
F(x)=1, при х ≥ b.
Дифференциальной функцией распределения (плотностью
вероятности) f(x) называют первую производную от F(x).
f(x)=F
.
(x) (8)
76
Математическим ожиданием непрерывной
случайной величины Х, возможные значения которой
принадлежат отрезку [a,b] называют
( ) ( ) (9)
M
xfxdx
=
Дисперсией непрерывной случайной величины
называют математическое ожидание квадрата её
отклонения. Если возможные значения Х принадлежат
отрезку [a,b], то
(
)
2
( ) ( ) ( ) (10)Д xxMxfxdx=−
Среднее квадратическое значение непрерывной
случайной величины
(11) )()( xДx =
σ
Вероятностный смысл математического ожидания:
М(х) приближенно равно среднему арифметическому
наблюдаемых значений случайной величины. Дисперсия
является характеристикой рассеивания, разбросанности
значений случайной величины около её математического
ожидания.
Задача 6. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х, заданной интегральной
функцией
>
≤<
≤
=
1 при ,1
10 при ,
0 при ,0
)(
x
xx
x
xf
Решение. Найдем дифференциальную функцию:
>
≤<
≤
=
′
=
1 при ,0
10 при ,1
0 при ,0
)()(
x
x
x
xfxf
Тогда,
2
1
2
1)(
1
0
2
1
0
==⋅=
∫
x
dxxxM 
понятий в теории вероятностей, как и понятия «события»           Математическим         ожиданием непрерывной
и «вероятность».                                           случайной величины Х, возможные значения которой
       Дискретной называют случайную величину, которая     принадлежат отрезку [a,b] называют
принимает отдельные, изолированные возможные значения            M ( x) = f ( x)dx                            (9)
с определенными вероятностями.                                   Дисперсией непрерывной случайной величины
       Примеры: 1) число появлений герба при трех          называют математическое ожидание квадрата её
бросаниях монеты (возможные значения 0,1,2,3); 2) число    отклонения. Если возможные значения Х принадлежат
отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти          отрезку [a,b], то
элементов (возможные значения 0,1,2,3,4,5); 3) число
                                                                 Д ( x) = ( x − M ( x) ) f ( x)dx
                                                                                        2
выбитых очков при стрельбе по мишени на каждые 100                                                            (10)
выстрелов.                                                        Среднее квадратическое значение непрерывной
       Непрерывной называют случайную величину,            случайной величины
которая может принимать все значения из некоторого                σ ( x) = Д ( x)                       (11)
конечного или бесконечного промежутка.
                                                                  Вероятностный смысл математического ожидания:
       Примеры: 1) время безотказной работы лампы, 2)
                                                           М(х) приближенно равно среднему арифметическому
температура помещения, 3) вес зерна пшеницы.
                                                           наблюдаемых значений случайной величины. Дисперсия
       Мы будем обозначать случайные величины
                                                           является характеристикой рассеивания, разбросанности
прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения
                                                           значений случайной величины около её математического
соответствующими строчными буквами x,y,z.
                                                           ожидания.
       Рассмотрим случайную величину Х, возможные
                                                                  Задача 6. Найти математическое ожидание и
значения которой сплошь заполняют интервал (а,b). Пусть
                                                           дисперсию случайной величины Х, заданной интегральной
х – действительное число. Вероятность события, состоящее
                                                           функцией
в том, что Х примет значение меньшее х, т.е. вероятность
события Х<х обозначим через F(x) и назовем интегральной                      0, при x ≤ 0
                                                                            
функцией.                                                          f ( x) =  x, при 0 < x ≤ 1
       Свойства интегральной функции F(x):                                   1, при x > 1
                                                                            
1) 0 ≤ F ( x) ≤ 1;
                                                                  Решение. Найдем дифференциальную функцию:
2) F ( x 2 ) > F ( x1 ), если x 2 > x1
                                                                                       0, при x ≤ 0
3) Если возможные значения случайной величины                                         
                                                                   f ( x) = f ′( x) = 1, при 0 < x ≤ 1
    принадлежат интервалу (а,b), то F(x)=0, при х ≤ а;
                                                                                       0, при x > 1
    F(x)=1, при х ≥ b.                                                                
Дифференциальной функцией распределения (плотностью                                               1
вероятности) f(x) называют первую производную от F(x).
                                                                                 1           x2           1
                                                                 Тогда, M ( x) = ∫ x ⋅ 1dx =          =
       f(x)=F.(x)                      (8)                                       0           2
                                                                                                  0
                                                                                                          2

                                                      75   76

Страницы