Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 38 стр.

понятий в теории вероятностей, как и понятия «события»           Математическим         ожиданием непрерывной
и «вероятность».                                           случайной величины Х, возможные значения которой
       Дискретной называют случайную величину, которая     принадлежат отрезку [a,b] называют
принимает отдельные, изолированные возможные значения            M ( x) = f ( x)dx                            (9)
с определенными вероятностями.                                   Дисперсией непрерывной случайной величины
       Примеры: 1) число появлений герба при трех          называют математическое ожидание квадрата её
бросаниях монеты (возможные значения 0,1,2,3); 2) число    отклонения. Если возможные значения Х принадлежат
отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти          отрезку [a,b], то
элементов (возможные значения 0,1,2,3,4,5); 3) число
                                                                 Д ( x) = ( x − M ( x) ) f ( x)dx
                                                                                        2
выбитых очков при стрельбе по мишени на каждые 100                                                            (10)
выстрелов.                                                        Среднее квадратическое значение непрерывной
       Непрерывной называют случайную величину,            случайной величины
которая может принимать все значения из некоторого                σ ( x) = Д ( x)                       (11)
конечного или бесконечного промежутка.
                                                                  Вероятностный смысл математического ожидания:
       Примеры: 1) время безотказной работы лампы, 2)
                                                           М(х) приближенно равно среднему арифметическому
температура помещения, 3) вес зерна пшеницы.
                                                           наблюдаемых значений случайной величины. Дисперсия
       Мы будем обозначать случайные величины
                                                           является характеристикой рассеивания, разбросанности
прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения
                                                           значений случайной величины около её математического
соответствующими строчными буквами x,y,z.
                                                           ожидания.
       Рассмотрим случайную величину Х, возможные
                                                                  Задача 6. Найти математическое ожидание и
значения которой сплошь заполняют интервал (а,b). Пусть
                                                           дисперсию случайной величины Х, заданной интегральной
х – действительное число. Вероятность события, состоящее
                                                           функцией
в том, что Х примет значение меньшее х, т.е. вероятность
события Х<х обозначим через F(x) и назовем интегральной                      0, при x ≤ 0
                                                                            
функцией.                                                          f ( x) =  x, при 0 < x ≤ 1
       Свойства интегральной функции F(x):                                   1, при x > 1
                                                                            
1) 0 ≤ F ( x) ≤ 1;
                                                                  Решение. Найдем дифференциальную функцию:
2) F ( x 2 ) > F ( x1 ), если x 2 > x1
                                                                                       0, при x ≤ 0
3) Если возможные значения случайной величины                                         
                                                                   f ( x) = f ′( x) = 1, при 0 < x ≤ 1
    принадлежат интервалу (а,b), то F(x)=0, при х ≤ а;
                                                                                       0, при x > 1
    F(x)=1, при х ≥ b.                                                                
Дифференциальной функцией распределения (плотностью                                               1
вероятности) f(x) называют первую производную от F(x).
                                                                                 1           x2           1
                                                                 Тогда, M ( x) = ∫ x ⋅ 1dx =          =
       f(x)=F.(x)                      (8)                                       0           2
                                                                                                  0
                                                                                                          2

                                                      75   76