ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
79
Пусть
∗
θ
служит оценкой неизвестного параметра θ.
Положительное число δ характеризует точность оценки.
Однако утверждение, что оценка θ удовлетворяет
неравенству
δθθ
<−
∗
, не всегда справедливо, поэтому
вводится понятие надежности оценки θ по
∗
θ
.
Надежностью (доверительной вероятностью)
оценки θ по
∗
θ
называют вероятность γ, с которой
осуществляется неравенство θ-
∗
θ
<δ. Пусть вероятность
того, что θ-
∗
θ
<δ равна γ: P(θ-
∗
θ
<δ)=γ или
(14) )(
γδθθδθ
=+<<−
∗∗
P
Соотношение (14) следует понимать так:
вероятность того, что интервал
),(
δθδθ
+−
∗∗
заключает в
себе (покрывает) неизвестный параметр θ равна γ.
Интервал
),(
δθδθ
+−
∗∗
называют доверительным.
Доверительный интервал для оценки
математического ожидания нормального распределения
при известном среднем квадратическом отклонении σ
определяется из
(15) )(2
γ
σσ
==
+<<− tФ
n
tXa
n
tXP
Смысл полученного соотношения таков: с
надежностью γ можно утверждать, что доверительный
интервал
(16) ,
+−
n
tX
n
tX
σσ
покрывает неизвестный параметр а: точность оценки
n
t
σ
δ
= .
Задача 10. Выборка из большой партии
электроламп содержит 100 ламп. Средняя
80
продолжительность горения лампы выборки оказалась
1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный
интервал для средней продолжительности а горения лампы
всей партии, если известно, что среднее квадратическое
отклонение продолжительности горения лампы σ=40
часов.
Решение. Требуется найти доверительный интервал
согласно (16). Здесь все известно, кроме t. Из соотношения
γ
=
)(2 tФ (см.(15)) получим 2Ф(t)=0,95; Ф(t)=0,475. По
таблице функции Лапласа находим t=1,95. Подставив
nXt
B
,,,
σ
в (16), получим 992,16<a<1007,84.
Статистической называют зависимость, при которой
изменение одной из величин влечет изменение
распределения другой. Статистическую зависимость
называют корреляционной, если при изменении одной из
величин изменяется среднее значение другой. Например,
на каждый из трех одинаковых участков земли внесли по 2
ед. удобрений и сняли соответственно 5,6 и 20 единиц
зерна, средний урожай составил 7.
Условным средним
x
y называют среднее
арифметическое значение у, соответствующих значению
Х=х.
Уравнение
x
y =f(x) называют уравнением
регрессии. Пусть требуется по данным корреляционной
таблицы отыскать выборочное уравнение прямой линии
регрессии. Рассмотрим на примере.
На практике данные наблюдений (что можно
считать выборкой из генеральной совокупности, поэтому
говорят выборочное уравнение прямой линии регрессии)
записывают в виде таблицы, которую называют
корреляционной. поясним устройство корреляционной
таблицы на примере:
Пусть θ ∗ служит оценкой неизвестного параметра θ. продолжительность горения лампы выборки оказалась
Положительное число δ характеризует точность оценки. 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный
интервал для средней продолжительности а горения лампы
Однако утверждение, что оценка θ удовлетворяет
всей партии, если известно, что среднее квадратическое
неравенству θ − θ ∗ < δ , не всегда справедливо, поэтому отклонение продолжительности горения лампы σ=40
часов.
вводится понятие надежности оценки θ по θ ∗ .
Решение. Требуется найти доверительный интервал
Надежностью (доверительной вероятностью)
согласно (16). Здесь все известно, кроме t. Из соотношения
∗
оценки θ по θ называют вероятность γ, с которой 2Ф(t ) = γ (см.(15)) получим 2Ф(t)=0,95; Ф(t)=0,475. По
осуществляется неравенство θ- θ ∗ <δ. Пусть вероятность таблице функции Лапласа находим t=1,95. Подставив
того, что θ- θ ∗ <δ равна γ: P(θ- θ ∗ <δ)=γ или t , X B , σ , n в (16), получим 992,16
