Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 7 стр.

Подставляем значение х1 во второе уравнение и находим                3x1 − 2 x 2 + 3x3 = 25
х2=-135. Наконец, подставляем найденные значения х3 и х2                                      
                                                                      16                 68       Объявим х3      свободным
в первое уравнение и находим х1=20. Итак, исходная                        x 2 − 3 x3 = −
                                                                        3                 3 
система совместна и имеет единственное решение: х1=20,
                                                            неизвестным и перенесем его в правую часть.
х2=-135, х3=-42.
                                                                                       16         68
Рассмотрим еще один пример:                                 3x1 − 2 x 2 = 25 − 3x3 ;       x 2 = − + 3x3 . Из последнего
б) Решить систему линейных уравнений                                                    3          3
       3 x1 − 2 x 2 + 3 x3 = 25                                                                  17 9
                                                            уравнения находим, что x 2 = − + x3 . Подставляем это
                                                                                                  4 16
       2 x1 + 4 x 2 − x3 = −6   (11)
                                                            значение             х2          в        первое       уравнение:
                               
       4 x1 − 8 x 2 + 7 x3 = 56                                     17 9           
       Решение: Этой системе соответствует расширенная      3x1 − 2 − + x3  = 25 − 3x3 , или
                                                                     4 16 
матрица:                                                           17 9                                 33 15
                        3 − 2 3 25                        3x1 + − x3 = 25 − 3x3 , или 3x1 =              − x3 ,
                                                                  2 8                                  2 8
                        2 4 −1 − 6                                   11 5
                        4 − 8 7 56                        т.е. x1 = − x3 . Итак, система имеет общее решение:
                                                                      2 8
       Вычтем из второй строки первую, умноженную на                         11 5        
                                                                        x1 = − x3 
 2                                                    4                       2 8          , где х3 – свободное неизвестное, а
 3
   , и из третьей строки первую, умноженную на
                                                      3
                                                        .                     17 9 
                                                                     x 2 = − + x3 
Получим:                                                                       4 16 
                                                          х1 и х2 – базисные неизвестные, которые выражены через
                                                          свободные неизвестные.
                      3   − 2  3   25  
                      0 16 − 3 − 68                               Используя преобразования матрицы по методу
                           3         3                    Гаусса, можно дать понятие ранга матрицы. Рангом
                           16      68                     матрицы называется число ненулевых строк, которое
                     0 −       3                          получается после её приведения к «ступенчатому виду» по
                            3       3 
       Если теперь вторую строку прибавить к третьей, то    методу Гаусса.
вся третья строка будет сплошь состоять из нулей, что               Теорема Кронекера-Капелли. Система (7) совместна
соответствует уравнению вида 0=0. Значит, система (11)      тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен
равносильна системе:                                        рангу расширенной матрицы.




                                                       13   14