ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
12 1 1 1
222
[ , ] 11 3 16 10 10 5 ;
212
ijkijk
cc x y z i j k
xyz
===−++
rr
Векторное произведение
],[
21
cc
ρ
ρ
≠0
r
, следовательно,
векторы
21
cиc
ρ
ρ
не коллинеарны.
Задача 5
0
. Компланарны ли векторы cba
ρ
ρ
ρ
,,.
Решение: Векторы называются компланарными
,
если они лежат в одной плоскости или параллельны одной
плоскости. Необходимым и достаточным условием
компланарности векторов cba
ρ
ρ
ρ
,, является равенство нулю
их смешанного произведения
0=cba
ρ
ρ
ρ
или, в координатной
форме,
0=
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
.
Пример: Проверить, компланарны ли векторы
)8,5,1(),3,4,2(,)1,0,1( −==−= cba
ρ
ρ
ρ
.
Решение: Вычислим определитель третьего
порядка, составленный из координат векторов cba
ρ
ρ
ρ
,,.
Разложим его по элементам первой строки.
10 1
43 23 2 4
24 31 0 1
58 18 1 5
158
147 0 14 61 0;
−
=−− =
−
−
=⋅ − + = ≠
(,,)ab c
r
rr
≠0.
18
Следовательно, векторы cba
ρ
ρ
ρ
,, не компланарны.
Кривые второго порядка
Уравнение
222
)()( Rbyax =−+− определяет
окружность радиуса R с центром в точке с координатами
(а;в). Если центр окружности совпадает с началом
координат, то уравнение окружности принимает вид
222
Ryx =+ .
Эллипс есть геометрическое место точек, сумма
расстояний которых от двух постоянных точек-фокусов
эллипса есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние
между фокусами
cFF 2
21
=
; простейшее уравнение
эллипса мы получим, выбрав прямую, соединяющую
фокусы, за ось абсцисс, и поместив начало координат в
середине между ними. Тогда уравнение эллипса примет
вид:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, где
222
cab −= . Точки
пересечения эллипса
с его осями (А
1
и А
2
,
В
1
и В
2
) называются
вершинами эллипса.
Параметры а и в, входящие в уравнение эллипса равны его
полуосям.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение
расстояния 2с:2а, т.е.
a
c
=
ε
; очевидно, ε<1. Расстояния
точки до фокусов называются ее фокальными радиусами –
векторами (r
1
и r
2
). Для любой точки М(х;у) эллипса имеем:
М
ρρρ
i j k i j k Следовательно, векторы a , b , c не компланарны.
r r
[c1 ,c2 ] = x1 y1 z1 = 11 3 16 = −10 i + 10 j + 5k ; Кривые второго порядка
x2 y2 z2 2 1 2 Уравнение ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 определяет
окружность радиуса R с центром в точке с координатами
ρ ρ r (а;в). Если центр окружности совпадает с началом
Векторное произведение [c1 , c 2 ] ≠ 0 , следовательно, координат, то уравнение окружности принимает вид
ρ ρ
векторы c1 и c 2 не коллинеарны. x2 + y2 = R2 .
ρρρ
Задача 50. Компланарны ли векторы a , b , c . Эллипс есть геометрическое место точек, сумма
Решение: Векторы называются компланарными, расстояний которых от двух постоянных точек-фокусов
если они лежат в одной плоскости или параллельны одной эллипса есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние
плоскости. Необходимым и достаточным условием между фокусами F1 F2 = 2c ; простейшее уравнение
ρρρ
компланарности векторов a , b , c является равенство нулю эллипса мы получим, выбрав прямую, соединяющую
ρρρ фокусы, за ось абсцисс, и поместив начало координат в
их смешанного произведения ab c = 0 или, в координатной
форме, середине между ними. Тогда уравнение эллипса примет
вид:
ax a y az
x2 y2
bx b y bz = 0 . + = 1, где
М a2 b2
cx c y cz
b 2 = a 2 − c 2 . Точки
Пример:
ρ Проверить, компланарны ли векторы пересечения эллипса
ρ ρ
a = (1,0,−1), b = (2,4,3), c = (1,−5,8) . с его осями (А1 и А2,
Решение: Вычислим определитель третьего В1 и В2) называются
ρρρ вершинами эллипса.
порядка, составленный из координат векторов a , b , c .
Разложим его по элементам первой строки. Параметры а и в, входящие в уравнение эллипса равны его
полуосям.
1 0 −1 Эксцентриситетом эллипса называется отношение
4 3 2 3 2 4
2 4 3 =1 −0 −1 = c
расстояния 2с:2а, т.е. ε = ; очевидно, ε<1. Расстояния
5 8 1 8 1 −5 a
1 −5 8
точки до фокусов называются ее фокальными радиусами –
= 1 ⋅ 47 − 0 + 14 = 61 ≠ 0; векторами (r1 и r2). Для любой точки М(х;у) эллипса имеем:
r r r
(a ,b , c ) ≠0.
17 18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
