Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 9 стр.

                                                                                                       ρρρ
            i     j    k     i j k                                              Следовательно, векторы a , b , c не компланарны.
 r r
[c1 ,c2 ] = x1   y1    z1 = 11 3 16 = −10 i + 10 j + 5k ;                       Кривые второго порядка
           x2    y2    z2     2    1     2                                      Уравнение       ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 определяет
                                                                         окружность радиуса R с центром в точке с координатами
                               ρ ρ          r                            (а;в). Если центр окружности совпадает с началом
Векторное произведение        [c1 , c 2 ] ≠ 0 ,    следовательно,        координат, то уравнение окружности принимает вид
        ρ    ρ
векторы c1 и c 2 не коллинеарны.                                          x2 + y2 = R2 .
                                             ρρρ
       Задача 50. Компланарны ли векторы a , b , c .                            Эллипс есть геометрическое место точек, сумма
       Решение: Векторы называются компланарными,                        расстояний которых от двух постоянных точек-фокусов
если они лежат в одной плоскости или параллельны одной                   эллипса есть величина постоянная, равная 2а. Расстояние
плоскости. Необходимым и достаточным условием                            между фокусами F1 F2 = 2c ; простейшее уравнение
                          ρρρ
компланарности векторов a , b , c является равенство нулю                эллипса мы получим, выбрав прямую, соединяющую
                              ρρρ                                        фокусы, за ось абсцисс, и поместив начало координат в
их смешанного произведения ab c = 0 или, в координатной
форме,                                                                   середине между ними. Тогда уравнение эллипса примет
                                                                         вид:
        ax a y az
                                                                                                            x2 y2
        bx b y bz = 0 .                                                                                       +    = 1,    где
                                                                                                  М        a2 b2
        cx c y cz
                                                                                                               b 2 = a 2 − c 2 . Точки
        Пример:
              ρ     Проверить, компланарны ли векторы                                                          пересечения эллипса
ρ                          ρ
a = (1,0,−1), b = (2,4,3), c = (1,−5,8) .                                                                      с его осями (А1 и А2,
        Решение:         Вычислим определитель третьего                                                        В1 и В2) называются
                                                 ρρρ                                                           вершинами эллипса.
порядка, составленный из координат векторов a , b , c .
Разложим его по элементам первой строки.                                 Параметры а и в, входящие в уравнение эллипса равны его
                                                                         полуосям.
            1    0     −1                                                Эксцентриситетом       эллипса    называется       отношение
                               4 3           2 3        2   4
            2    4      3 =1           −0          −1           =                                    c
                                                                         расстояния 2с:2а, т.е. ε = ; очевидно, ε<1. Расстояния
                               5 8           1 8        1 −5                                         a
            1 −5       8
                                                                         точки до фокусов называются ее фокальными радиусами –
            = 1 ⋅ 47 − 0 + 14 = 61 ≠ 0;                                  векторами (r1 и r2). Для любой точки М(х;у) эллипса имеем:
                            r r r
                           (a ,b , c ) ≠0.

                                                                    17   18