Методическое пособие по выполнению контрольных работ по высшей математике для студентов заочного отделения технологических специальностей. Гармаев В.Д - 8 стр.

                                                    ρ ρ     ρ                                                                           ρ        ρ
        Задача 3. Пусть заданы векторы a1 , a 2 ,..., a n . Если               Задача 4. Коллинеарны ли векторы c1 и c 2 ?
существуют постоянные числа α1 , α 2 ,...,α n , не все равные                  Коллинеарными                          называются                   векторы,
нулю,       такие,         что      имеет         место    равенство   расположенные на одной прямой или параллельных
   ρ       ρ            ρ                                              прямых.
α1a1 + α 2 a 2 + ...α n a n = 0,    (12)
                             ρ ρ        ρ                                      Необходимое                    и          достаточное                условие
        то       векторы a1 , a 2 ,..., a n называются      линейно-   коллинеарности двух векторов заключается в равенстве
зависимыми, т.е. один из них может быть выражен как                    нулю их векторного произведения.
линейная комбинация остальных. Если же равенство (12)                             ρρ ρ                                            ρρ ρ
                                                                               [a , b ] = 0 . Отсюда следует, что [a , a ] = 0 .
справедливо             только          при        условии,      что                                                                           ρ ρ
                                              ρ ρ     ρ                        Пример: Коллинеарны ли векторы c1 , c 2 , если
α1 = α 2 = ... = α n = 0 , то векторы a1 , a 2 ,..., a n называются    ρ      ρ ρρ                ρ ρρ                     ρ
                                                                       c1 = 2a + 3b , c 2 = − a + b , a = {1,0,2}, b = {3,14}.
линейно-независимыми.                                                                                               ρ      ρ
        Справедлива следующая теорема: Произвольные                    Решение: Поскольку векторы c1 и c 2 являются линейными
                           ρρρ ρ                                                                                  ρ ρ
четыре вектора a , b , c , d в пространстве, линейно                   комбинациями векторов a и b , координаты которых
зависимы,                                                              известны, то мы можем записать координаты векторов
 ρ    ρ      ρ т.е.ρ найдутся такие числа m,n,p, что                   ρ     ρ
                                                                       c1 и c 2 как линейные комбинации соответствующих
d = ma + nb + pc .
                                                         ρ                                                        ρ ρ
        Рассмотрим пример: Разложить вектор d = {3,7,−7}               координат векторов                        a и b . Примем следующее
                                                                       обозначение:
по           линейно              независимым               векторам    ρ                      ρ                      ρ                      ρ
 ρ           ρ               ρ                                         a = (a x , a y , a z ), b = (b x , b y , bz ), c1 = ( x1 , y1 , z1 ), c 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )
a = {2,1,0}, b = {1,−1,2}, c = {2,2,−1}.
                                               ρ              ρρρ      .
        Решение: Разложить вектор d по векторам a , b , c –
                                               ρ                       Тогда
это значит представить вектор d в виде линейной                        r
                               ρρρ              ρ    ρ   ρ    ρ        c1 = {x1 , y1 , z1} = {2ax + 3bx ,2a y + 3by ,2az + 3bz } =
комбинации векторов a , b , c , т.е. d = ma + nb + pc , где
m,n,p – некоторые числа. Подставляя в данное равенство
                                                                       = {2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3,2 ⋅ 0, +3 ⋅ 1,2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4} = {11,3,16}
                             ρρρ ρ                                     r
                                                                       c2 = ( x2 , y2 , z2 ) = {− ax + bx , −a y + by , − az + bz } =
координаты векторов a , b , c , d ,получим
        {3,7,−7} = m{2,1,0} + n{1,−1,2} + p{2,2,−1} , т.е.             = {−1 + 3,0 + 1, −2 + 4} = {2,1,2}
        3 = 2m + n + 2 p                                                                               ρ   ρ
                                                                       Подставим координаты векторов c1 и c 2 в формулу (3)
                                                                                                              ρ ρ
         7 = m − n + 2p           Решая эту систему, находим          для вычисления векторного произведения [c1 , c 2 ]
        7 = 0m + 2n − p
        
                                              ρ    ρ ρ ρ
m = 2, n = −3, p = 1 . Следовательно, d = 2a − 3b + c .



                                                                 15    16