ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 39 стр.

       Системы комплексных экспоненциальных функций. Полной ортогональной
системой на интервале [-π, π] или любом другом интервале длительностью 2π яв-
ляется система комплексных экспоненциальных функций {l jkξ } . Это нормирован-
ная периодическая система с периодом 2π. Для нее характерно свойство мультип-
ликативности, заключается в том, что произведение двух любых ее функций явля-
ется также функцией этой системы:
                                    l jkξ l jmξ = l jlξ ,         (3.20)
где l = k + m.
       Дискретный аналог этой системы - система дискретных комплексных экс-
                         ⎧ j 2πki ⎫
поненциальных функций ⎨l N ⎬ , обладающая свойствами полноты, нормирован-
                         ⎩        ⎭
ности, ортогональности и мультипликативности на интервале, содержащим N от-
счетов. Зависимости (3.12) и (3.16) ряда и коэффициентов Фурье при использова-
нии в качестве базиса системы дискретных комплексных экспоненциальных
функций называются дискретными преобразованиями Фурье[3]:
                                        N −1            2πki
                                 x (i ) = ∑ ck l
                                                    j
                                                         N
                                                               ;                 (3.21)
                                        k =0
                                          N −1                  2 πki
                                        1
                                            ∑ x(i )l
                                                           −j
                                 ck =                             N
                                                                        ,        (3.22)
                                        N   i =0

     ⎧ − j 2πki ⎫
где ⎨l N ⎬ - система комплексно-сопряженных экспоненциальных функций, оп-
     ⎩          ⎭
ределенных на интервале в N точках.
                            ⎧ j 2πki ⎫
         Спектр cα в базисе ⎨l N ⎬ является комплексной функцией. Системы ком-
                            ⎩        ⎭
плексных экспоненциальных функций широко применяются при решении различ-
ных технических и научных задач и достаточно подробно описаны в литературе
[1,2,3].
         Полиномиальные базисные системы. К ним относят системы, построенные
на основе ортогональных полиномов [4]. Рассмотрим две такие системы, опреде-
ленные на конечных интервалах.
         Полиномы Чебышева. На интервале [-1, 1] можно построить полную орто-
нормальную систему
                                                1
                                            −
                         ϕn (ξ ) = 2 n (2π ) 2 Tn (ξ ) ,     n=0,1,2,...,            (3.23)
где Tn(ξ) - полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:
                                                1
                         T0(ξ)=1, Tn (ξ ) = n−1 cos(n ⋅ arccos(ξ )), n ≥ 1 .         (3.24)
                                              2
         Полиномы Чебышева обладают тем важным свойством, что из всех поли-
номов n-ой степени, имеющих коэффициент при ξ n, равный единице, полином
Чебышева Tn(ξ) наименее отклоняется от нуля на интервале [-1, 1]. При n≥3 значе-
ние Tn(ξ) можно вычислять по рекуррентной формуле
                                  Tn (ξ ) = ξTn−1 (ξ ) − 0.25Tn−2 (ξ ) .             (3.25)
         Полиномы Лежандра. Нормированные и ортогональные функции
          1                3                  5 ⎡ 3 2 1⎤                  2n + 1
ϕ0 (ξ ) =    , ϕ1 (ξ ) =     ξ , ϕ2 (ξ ) =      ⎢   ξ − ⎥,K,ϕn (ξ ) =            Pn (ξ ) образуют
           2               2                  2 ⎣2        2⎦                 2



                                                                                             39