ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

40
полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {P
n
(
ξ
)} - полиномы
Лежандра, определяемые по формуле по формуле
P
n
d
d
n
n
n
n
n
()
!
()
ξ
ξ
ξ
=−
1
2
1
2
(3.26)
или по рекуррентной зависимости
nP
n
(
ξ
) = (2n - 1)
ξ
P
n-1
(
ξ
) - (n - 1)P
n-2
(
ξ
). (3.27)
Непосредственная дискретизация непрерывных СБФ, построенных на ос-
нове ортогональных полиномов, образует системы дискретных функций с нерав-
ноотстоящими отсчетами. В этом смысле непрерывные полиномы не имеют ре-
шетчатых аналогов. Однако в классе полиномиальных функций можно построить
решетчатые полиномы, используя непосредственное представление их аргумента
в виде дискретной переменной. Среди таких функций конечный
интервал опреде-
ления имеют функции дискретных систем Чебышева, Кравчука, Шарлье и Мейк-
снера.
Функции систем этого класса ортогональны на интервале [0, N) и являются
ненормированными. Для каждой системы известны рекуррентные соотношения,
позволяющие строить аналитические описания функций при различных значениях
номера функции
α
и числа отсчетов N. Данные аналитические описания можно
представить в форме обобщенных степенных полиномов
pol i a i
k
k
k
α
α
()=
=
∑
0
, (3.28)
где a
k
- коэффициенты, зависящие от конкретного типа системы.
От типа системы зависят и нормы базисных функций, поскольку эти систе-
мы не являются нормированными. Например, для системы Чебышева коэффици-
енты и норма записываются как [3]
a
k
kkNNNk
k
k
=
−+
−−− −
()( )!
(!)( )!( )( ) ( )
1
12
2
α
α
K
; (3.29)
pol i
NN N
NNNN
α
α
α
αα
()
()( )
()()()()
=
+
+
−
+−− −
1
21 1 2
K
K
. (3.30)
Проведя нормирование, можно построить нормированные системы дис-
кретных полиномов. Для нормированного базиса Чебышева первые три его функ-
ции представляются следующим образом:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−+−−−−
++
=
+
−−
==
)]1(6)2(6)2)(1[(
)1)(2(
5
)(
1
)21(3
)(,1)(
2
10
iiNiNN
NN
ipol
N
iN
ipolipol
(3.31)
и для N=8 приведены на рис. 3.9. 
полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {Pn(ξ)} - полиномы
Лежандра, определяемые по формуле по формуле
                                      1 dn 2
                            Pn (ξ ) = n         (ξ − 1) n         (3.26)
                                     2 n ! dξ n
или по рекуррентной зависимости
                    nPn(ξ) = (2n - 1)ξPn-1(ξ) - (n - 1)Pn-2(ξ).   (3.27)
       Непосредственная дискретизация непрерывных СБФ, построенных на ос-
нове ортогональных полиномов, образует системы дискретных функций с нерав-
ноотстоящими отсчетами. В этом смысле непрерывные полиномы не имеют ре-
шетчатых аналогов. Однако в классе полиномиальных функций можно построить
решетчатые полиномы, используя непосредственное представление их аргумента
в виде дискретной переменной. Среди таких функций конечный интервал опреде-
ления имеют функции дискретных систем Чебышева, Кравчука, Шарлье и Мейк-
снера.
       Функции систем этого класса ортогональны на интервале [0, N) и являются
ненормированными. Для каждой системы известны рекуррентные соотношения,
позволяющие строить аналитические описания функций при различных значениях
номера функции α и числа отсчетов N. Данные аналитические описания можно
представить в форме обобщенных степенных полиномов
                                                       α
                                          polα (i ) = ∑ a k i k ,                  (3.28)
                                                      k =0
где ak - коэффициенты, зависящие от конкретного типа системы.
        От типа системы зависят и нормы базисных функций, поскольку эти систе-
мы не являются нормированными. Например, для системы Чебышева коэффици-
енты и норма записываются как [3]
                                                     ( −1) k ( k + α )!
                           ak =                                                    ;         (3.29)
                                    ( k !) 2 (α − k )!( N − 1)( N − 2)K( N − k )
                                                    ( N + α )( N + α − 1)K N
                             polα (i ) =                                               .     (3.30)
                                              N (2α + 1)( N − 1)( N − 2)K( N − α )
        Проведя нормирование, можно построить нормированные системы дис-
кретных полиномов. Для нормированного базиса Чебышева первые три его функ-
ции представляются следующим образом:
                                     3( N − 1 − 2i )                                     ⎫
         pol0 (i ) = 1, pol1 (i ) =                                                      ⎪⎪
                                            N +1
                                                                                          ⎬  (3.31)
                              5
         pol2 (i ) =                       [( N − 1)( N − 2) − 6i ( N − 2) + 6i (i − 1)]⎪
                     ( N + 2)( N + 1)                                                     ⎪⎭
и для N=8 приведены на рис. 3.9.




                                                                                               40

Страницы