ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

70
В этом случае система не наблюдаема.
4.5. Управляемость для линейных систем
с сосредоточенными параметрами
Весьма существенным при анализе систем управления является понятие управ-
ляемости [6, 9]. Неформально система управляема, если найдется такое управление
u(t), которое обеспечивает ее перевод из произвольного начального состояния x
0
в
произвольное же состояние
x
d
за конечное время. Более строго определение управ-
ляемости может быть сформулировано следующим образом.
Система называется полностью управляемой, если из любого начального со-
стояния
x
0
(t
0
) она может быть переведена в любое наперед заданное состояние x
d
(t)
с помощью некоторого управления
u(t) за конечное время t - t
0
≥ 0.
Возможен случай частично управляемой системы, т.е. системы, имеющей под-
множества начальных состояний из которых достижение произвольного желаемого
состояния за конечное время невозможно.
Из этого определения для конкретных классов систем можно получить конст-
руктивные условия управляемости. Так, в случае постоянных матриц
A и B система
(4.24) - (4.25) будет полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг (n x nm)
матрицы управляемости
L
c
равен n, где
L
c
= [B AB A
2
B ..... A
n-1
B] . (4.55)
Вывод этого условия может быть проделан с использованием аналитического вы-
ражения для решения системы (4.24) - (4.25) при D = 0:
t
x(t) = e
At
x
0
+ ∫ e
A(t-s)
Bu(s)ds, (4.56)
0
где e
At
может быть записано в виде
e
At
= I + At +
1
2
A
2
t
2
+ .......... (4.57)
Согласно теореме Гамильтона-Кэли, e
At
выражается в виде конечного ряда, или
матричного полинома,
e
At
= c
0
I + c
1
At + c
2
(At)
2
+ .......+ c
n-1
(At)
n-1
. (4.58)
Подставив (4.58) в (4.56), получим
x(t) = e
At
x
0
+
0
t
∫
[c
0
B + c
1
(t - s)AB + ....+ c
n-1
(t - s)
n-1
A
n-1
B]u(s)ds, (4.59)
или
c
0
u(s)
t c
1
(t-s)u(s)
x(t) = e
At
x
0
+ ∫ [B AB ..... A
n-1
B] ⋅ ds. (4.60) 
    В этом случае система не наблюдаема.


                          4.5. Управляемость для линейных систем
                               с сосредоточенными параметрами

     Весьма существенным при анализе систем управления является понятие управ-
ляемости [6, 9]. Неформально система управляема, если найдется такое управление
u(t), которое обеспечивает ее перевод из произвольного начального состояния x0 в
произвольное же состояние xd за конечное время. Более строго определение управ-
ляемости может быть сформулировано следующим образом.
     Система называется полностью управляемой, если из любого начального со-
стояния x0(t0) она может быть переведена в любое наперед заданное состояние xd(t)
с помощью некоторого управления u(t) за конечное время t - t0 ≥ 0.
     Возможен случай частично управляемой системы, т.е. системы, имеющей под-
множества начальных состояний из которых достижение произвольного желаемого
состояния за конечное время невозможно.
     Из этого определения для конкретных классов систем можно получить конст-
руктивные условия управляемости. Так, в случае постоянных матриц A и B система
(4.24) - (4.25) будет полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг (n x nm)
матрицы управляемости Lc равен n, где
                         Lc = [B AB A2B ..... An-1B] .              (4.55)

Вывод этого условия может быть проделан с использованием аналитического вы-
ражения для решения системы (4.24) - (4.25) при D = 0:

                                          t
                          x(t) = e x0 + ∫ eA(t-s)Bu(s)ds,
                                   At
                                                                               (4.56)
                                          0


где eAt может быть записано в виде
                                              1 22
                           eAt = I + At +       A t + ..........               (4.57)
                                              2

    Согласно теореме Гамильтона-Кэли, eAt выражается в виде конечного ряда, или
матричного полинома,

                    eAt = c0I + c1At + c2(At)2 + .......+ cn-1(At)n-1.         (4.58)

    Подставив (4.58) в (4.56), получим

                    t
           At
    x(t) = e x0 +   ∫
                    0
                        [c0B + c1(t - s)AB + ....+ cn-1(t - s)n-1An-1B]u(s)ds, (4.59)


    или
                                           c0u(s)
                       t                   c1(t-s)u(s)
                  At                   n-1
          x(t) = e x0 + ∫ [B AB ..... A B]      ⋅                        ds.            (4.60)


                                                                                             70

Страницы