ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

68
нии
ξ
(t). Решение x(t) записывается в виде
x(t) = e
At
⋅ x
0
= (c
0
I + c
1
tA + ...+ c
n-1
t
n-1
A
n-1
)x
0
. (4.47)
Соответственно этому для наблюдаемого выхода
y(t) получим
y(t) = Cx = (c
0
C + c
1
tCA + ... + c
n-1
t
n-1
CA
n-1
)x
0
. (4.48 )
Для наблюдаемости системы нужно иметь возможность определить
x
0
по дан-
ным о выходе
y(t), 0 ≤ t ≤ t
f
, поскольку, если состояние x
0
известно, известна и вся
исходящая из него траектория
x(t) (4.47). Это в свою очередь приводит к необходи-
мости разрешить уравнение (4.48) относительно
x
0
(псевдоинверсия). Умножая обе
части (4.48) на exp(At)
T
и интегрируя от 0 до t
f
, найдем
t
f
x
0
= [∫ (c
0
C + c
1
tCA + ...+ C
n-1
t
n-1
CA
n-1
)
T
x (c
0
C + c
1
tCA + ...+ C
n-1
t
n-1
CA
n-1
)dt]
-1
x
0
tf
x ∫ (c
0
C + c
1
tCA + ...+ C
n-1
t
n-1
CA
n-1
)
T
y(t)dt. (4.49)
0
Потребуем, чтобы была не вырожденна (т.е. имела ранг n) матрица М:
t
f
M = ∫ (c
0
C
T
+ c
1
tA
T
C
T
+ ...+ C
n-1
t
n-1
(A
T
)
n-1
C
T
) x
0
x
(c
0
C + c
1
tCA + ...+ C
n-1
t
n-1
CA
n-1
)dt. (4.50)
Матрицу
М можно представить также в виде
tf
M= ∫ [С
Т
А
Т
С
Т
....... (А
Т
)
n-1
C
T
] x
0
c
0
I C
c
1
tI CA
x . x [c
0
I c
1
tI ........ C
n-1
t
n-1
I ] . dt
. .
C
n-1
t
n-1
I CA
n-1
(где I - (l x l) - единичная матрица) или в виде
C
tf CA
M= [С
Т
А
Т
С
Т
...... . (А
Т
)
n-1
C
T
] ∫ Tdt . . (4.51)
0
.
CA
n-1
Блочная матрица Т(nl x nl) в (4.51) состоит из (l x l) диагональных блоков с эле-
ментами (c
k
c
j
t
k
t
j
), k, j, = 0,1, ...., n-1.
Используя известные положения алгебры, можно доказать следующие утвер-
нии ξ(t). Решение x(t) записывается в виде
                   x(t) = eAt ⋅ x0 = (c0I + c1tA + ...+ cn-1tn-1An-1)x0.           (4.47)

    Соответственно этому для наблюдаемого выхода y(t) получим
               y(t) = Cx = (c0C + c1tCA + ... + cn-1tn-1CAn-1)x0.                  (4.48 )

    Для наблюдаемости системы нужно иметь возможность определить x0 по дан-
ным о выходе y(t), 0 ≤ t ≤ tf, поскольку, если состояние x0 известно, известна и вся
исходящая из него траектория x(t) (4.47). Это в свою очередь приводит к необходи-
мости разрешить уравнение (4.48) относительно x0 (псевдоинверсия). Умножая обе
части (4.48) на exp(At)T и интегрируя от 0 до tf, найдем
            tf
   x0 = [∫ (c0C + c1tCA + ...+ Cn-1tn-1CAn-1)T x (c0C + c1tCA + ...+ Cn-1tn-1CAn-1)dt]-1 x
           0
                      tf
                                                  n-1 n-1 T
                     x ∫ (c0C + c1tCA + ...+ Cn-1t CA ) y(t)dt.                     (4.49)
                       0


    Потребуем, чтобы была не вырожденна (т.е. имела ранг n) матрица М:
                   tf
              M = ∫ (c0CT + c1tATCT + ...+ Cn-1tn-1 (AT)n-1CT) x
                       0

                      x    (c0C + c1tCA + ...+ Cn-1tn-1CAn-1)dt.                   (4.50)

    Матрицу М можно представить также в виде
                    tf
                 M= ∫ [СТ АТСТ ....... (АТ)n-1CT] x
                                0


          c0I                                                               C
          c1tI                                                             CA
     x      .               x       [c0I c1tI ........ Cn-1tn-1I ]          .        dt
            .                                                               .
         Cn-1tn-1I                                                         CAn-1

(где I - (l x l) - единичная матрица) или в виде



                                                                C
                                             tf                CA
            M= [СТ     Т Т           Т n-1 T
                      А С ...... . (А ) C ] ∫ Tdt                .     .           (4.51)
                                                   0           .
                                                               CAn-1


   Блочная матрица Т(nl x nl) в (4.51) состоит из (l x l) диагональных блоков с эле-
ментами (ckcjtktj), k, j, = 0,1, ...., n-1.
   Используя известные положения алгебры, можно доказать следующие утвер-



                                                                                             68

Страницы