ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

69
ждения: для того чтобы выполнялось равенство rank M = n, необходимо и доста-
точно, чтобы rank
L
0
= n.
Обобщая этот результат на случай переменных во времени матриц
А,С Калман
показал, что система (4.43) - (4.45) будет вполне наблюдаемой в момент t
f
> t
0
тогда
и только тогда, когда положительно определена матрица
t
f
M(t
0
,t
f
) = ∫ Φ(t,t
0
)
T
C
T
(t)C(t)Φ(t,t
0
)dt . (4.52)
t
0
Напомним, что Φ(t,t
0
) - фундаментальная матрица системы, т.е. решение матрично-
го линейного однородного уравнения
.
Φ(t
0
,t
f
) = A(t) Φ(t,t
0
), Φ(t
0
,t
0
) = I. (4.53)
Пример 4.1.
Система описывается уравнениями вида
&
() (),
() () (),
xFxGt Cut
zt Hxt t
=+ +
=+
⎫
⎬
⎭
ω
υ
(4.54)
где
x
1
z
1
(t) υ
1
(t)
x = ; z(t) = ; υ(t) = ;
x
2
z
2
(t) υ
2
(t)
0 1 0 0 1 0
F = ; G = ; C = ; H = .
0 0 1 в 0 1
Проверим систему (4.54) на наблюдаемость. Имеем
1 0 0 0
H
T
= ; F
T
H
T
= .
0 1 1 0
Тогда
ранг [
H
T
F
T
H
T
] = ранг
1
0
0
1
0
1
0
0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 2
и поэтому система полностью наблюдаема.
Если
H =[0 1], то,
H
T
=
0
1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;
F
T
H
T
=
0
0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
и
ранг [
H
T
F
T
H
T
] = ранг
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
01
00
= 1. 
ждения: для того чтобы выполнялось равенство rank M = n, необходимо и доста-
точно, чтобы rank L0 = n.
    Обобщая этот результат на случай переменных во времени матриц А,С Калман
показал, что система (4.43) - (4.45) будет вполне наблюдаемой в момент tf > t0тогда
и только тогда, когда положительно определена матрица
                                tf
                    M(t0,tf) = ∫ Φ(t,t0)TCT(t)C(t)Φ(t,t0)dt .       (4.52)
                               t0
Напомним, что Φ(t,t0) - фундаментальная матрица системы, т.е. решение матрично-
го линейного однородного уравнения
                  .
                 Φ(t0,tf) = A(t) Φ(t,t0),    Φ(t0,t0) = I.         (4.53)

    Пример 4.1. Система описывается уравнениями вида

                                       x& = Fx + Gω (t ) + Cu(t ),⎫
                                                                  ⎬                                              (4.54)
                                       z (t ) = Hx (t ) + υ (t ), ⎭
    где
                     x1                               z1(t)                                  υ1(t)
            x=                 ;            z(t) =                  ;               υ(t) =               ;
                     x2                                  z2(t)                               υ2(t)



                 0        1                      0                              0                    1       0
          F=                       ;     G=               ;       C=                ;    H=                        .
                 0        0                      1                              в                    0       1

    Проверим систему (4.54) на наблюдаемость. Имеем

                                           1     0                                  0    0
                                   T                                    T   T
                              H =                    ;             F H =                       .
                                           0     1                                  1    0

    Тогда
                                                                 ⎡1 0 0 0⎤
                               ранг [HT             FTHT] = ранг ⎢       ⎥= 2
                                                                 ⎣0 1 1 0⎦

и поэтому система полностью наблюдаема.
                   Если H =[0 1], то,

                                            ⎡0⎤                         ⎡0⎤
                                       HT = ⎢ ⎥ ;                FTHT = ⎢ ⎥
                                            ⎣1 ⎦                        ⎣0⎦
и
                                                    ⎡0 0 ⎤
                              ранг [HT FTHT] = ранг ⎢    ⎥ = 1.
                                                    ⎣1 0⎦



                                                                                                                          69

Страницы