ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

71
0 ⋅
c
n-1
(t - s)
n-1
u(s)
Поскольку управляемость означает, что управление
u влияет на все состояния x
посредством интегрального члена в (4.60), ясно, что система будет управляемой то-
гда и только тогда, когда подынтегральное выражение в (4.60) обеспечивает такое
влияние, т.е. когда ранг матрицы [
B AB ..... A
n-1
B] равен n. Условие управляемо-
сти не по состояниям, а по выходам можно получить, умножив обе части уравнения
(4.59) на
С:
y(t) = Cx = Ce
At
x
0
+
0
t
∫
[c
0
CB + c
1
(t-s)CAB + ... + c
n-1
(t - s)
n-1
CA
n-1
B]u(s) ds. (4.61)
Управляемость по выходам будет обеспечиваться в том случае, когда управление
u(t) будет влиять на все l выходов y(t), т.е. выход y будет полностью управляемым
тогда и только тогда, когда равен l ранг соответствующей матрицы управляемости
L
c
0
L
c
0
= [ CB CAB ..... CA
n-1
B]. (4.62)
Условие управляемости
для случая линейной нестационарной системы в
форме (4.24) с известными матричными функциями времени
A(t), B(t) состоит в
том, что (n
x n) - матрица M(t
0
,t
f
) невырожденная, т.е. det M(t
0
,t
f
) ≠ 0, где
t
f
M(t
0
,t
f
) =∫ Φ(t,t
0
)
-1
B(t)B
T
(t)[ Φ(t,t
0
)
T
]
-1
dt. (4.63)
t
0
здесь det
A - определитель матрицы А. Напомним, Φ(t,t
0
) - фундаментальная матри-
ца системы, т.е. решение уравнения (4.53).
Пример 4.2.
Система описывается уравнениями вида
&
(),
() () (),
xFxCut
zt Hxt t
=+
=+
⎫
⎬
⎭
υ
(4.64)
где
x
1
z
1
(t) υ
1
(t)
x = x
2
; z(t) = ; υ(t) = ;
x
3
z
2
(t) υ
2
(t)
F =
01 0
0
0
12
34
ff
ff
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
; C =
0
0
c
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
; H =
1
0
0
0
0
1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.
Проверим систему (4.64) на управляемость. Имеем
0 0 f
2
c
L
0
c
= [C FC F
2
C] = 0 f
2
c (f
1
f
2
+ f
3
f
4
)c .
c f
4
c (f
2
f
3 +
f
4
2
)c 
                          0                                    ⋅
                                                          cn-1(t - s)n-1u(s)

    Поскольку управляемость означает, что управление u влияет на все состояния x
посредством интегрального члена в (4.60), ясно, что система будет управляемой то-
гда и только тогда, когда подынтегральное выражение в (4.60) обеспечивает такое
влияние, т.е. когда ранг матрицы [B AB ..... An-1B] равен n. Условие управляемо-
сти не по состояниям, а по выходам можно получить, умножив обе части уравнения
(4.59) на С:
                      t
             At
y(t) = Cx = Ce x0 +   ∫
                      0
                              [c0CB + c1(t-s)CAB + ... + cn-1(t - s)n-1CAn-1B]u(s) ds. (4.61)


Управляемость по выходам будет обеспечиваться в том случае, когда управление
u(t) будет влиять на все l выходов y(t), т.е. выход y будет полностью управляемым
тогда и только тогда, когда равен l ранг соответствующей матрицы управляемости
Lc0

                      Lc0 = [ CB CAB ..... CAn-1B].                           (4.62)
    Условие управляемости для случая линейной нестационарной системы в
форме (4.24) с известными матричными функциями времени A(t), B(t) состоит в
том, что (n x n) - матрица M(t0,tf) невырожденная, т.е. det M(t0,tf) ≠ 0, где

                         tf
               M(t0,tf) =∫ Φ(t,t0)-1B(t)BT(t)[ Φ(t,t0)T]-1dt.         (4.63)
                         t0
здесь detA - определитель матрицы А. Напомним, Φ(t,t0) - фундаментальная матри-
ца системы, т.е. решение уравнения (4.53).

    Пример 4.2. Система описывается уравнениями вида

                                 x& = Fx + Cu(t ),         ⎫
                                                           ⎬                           (4.64)
                                 z (t ) = Hx (t ) + υ (t ),⎭
    где
              x1                                 z1(t)                         υ1(t)
          x = x2      ;              z(t) =               ;         υ(t) =               ;
              x3                                 z2(t)                         υ2(t)

             ⎡0 1 0 ⎤                ⎡0⎤
             ⎢             ⎥         ⎢ ⎥           ⎡1 0 0⎤
         F = ⎢0 f1 f 2 ⎥ ;      C = ⎢0⎥ ;      H= ⎢           .
                                                   ⎣ 0 0 1 ⎥⎦
             ⎢⎣ 0 f 3 f 4 ⎥⎦         ⎢⎣c ⎥⎦
    Проверим систему (4.64) на управляемость. Имеем

                                     0          0            f2c
    L0c = [C FC F2C] =                0        f2c       (f1f2 + f3f4)c .
                                     c        f4c        (f2f3 + f42)c




                                                                                                71

Страницы