Математика. Гайворонская С.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Монотонные последовательности
Определение 3. Последовательность
{
}
n
x
называется:
возрастающей, если
1
nn
xx
<
для всех
n
;
неубывающей, если
1
nn
xx
≤ для всех
n
;
убывающей, если
1
nn
xx
+
> для всех
n
;
невозрастающей, если
1
nn
xx
≥ для всех
n
.
Все такие последовательности объединяются общим названием монотон-
ные последовательности.
Примеры.
1. ...,
1
...,,
3
1
,
2
1
,1
n
- убывающая и ограниченная .
2. ,...
1
,
1
...,,
3
1
,
3
1
,
2
1
,
2
1
,1,1
n
n
- невозрастающая и ограниченная .
1. 1, 2, 3,……., n,… .. – возрастающая и неограниченная .
2.
...,
1
...,,
4
3
,
3
2
,
2
1
+
n
n
- возрастающая и ограниченная .
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Рассмотрим последовательность
{
}
n
x
с общим элементом
n
n
n
x
+=
1
1
. Эта
последовательность сходится и ее предел равен
...7182,2,
1
1limlim ≈=
+=
∞→∞→
ee
n
x
n
n
n
n
§ 5. Примеры решения задач на тему «Числовые последовательности»
1. Написать первые пять элементов последовательности:
a)
1
+
=
n
n
x
n
Используем определение числовой последовательности
5,4,3,2,1
=
n
.
Подставляем значения в формулу общего члена
n
x , получаем:
6
5
;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
b)
1
2
1
+
=
n
x
n
Аналогично, полагая
5,4,3,2,1
=
n
, имеем:
11
1
;
9
1
;
7
1
;
5
1
;
3
1
2. Найти формулу общего элемента последовательности:
a)
;...
9
1
;
7
1
;
5
1
;
3
1
;1
2222
                                               10
                  Монотонные последовательности
Определение 3. Последовательность {xn } называется:
    возрастающей, если xn xn +1 для всех n ;
    невозрастающей, если xn ≥xn+1 для всех n .
Все такие последовательности объединяются общим названием монотон-
ные последовательности.

Примеры.
      1 1      1
1. 1, , , ..., , ... - убывающая и ограниченная.
      2 3      n
        1 1 1 1          1 1
2. 1, 1, , , , , ..., , ,... - невозрастающая и ограниченная.
        2 2 3 3          n n
1. 1, 2, 3,……., n,….. – возрастающая и неограниченная.
    1 2 3           n
2.     , , , ...,      , ... - возрастающая и ограниченная.
    2 3 4         n +1

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

                                                                                   n

Рассмотрим последовательность {xn } с общим элементом x n =�� 1 + �� . Эта
                                                                 1
                                                                          �   n�
последовательность                  сходится        и      ее        предел        равен
                       n
              �   1�
lim x n =lim � 1 + �       =e, e ≈2,7182...
n→ ∞     n→ ∞
                � n�



§5. Примеры решения задач на тему «Числовые последовательности»

1. Написать первые пять элементов последовательности:
                n
   a) x n =
              n +1
   Используем определение числовой последовательности n =1, 2, 3, 4, 5 .
   Подставляем значения в формулу общего члена x n , получаем:
   1 2 3 4 5
     ; ; ; ;
   2 3 4 5 6
              1
   b) x n =
            2n +1
                                                        1 1 1 1 1
   Аналогично, полагая n =1, 2, 3, 4, 5 , имеем: ; ; ; ;
                                                        3 5 7 9 11
2. Найти формулу общего элемента последовательности:
           1 1 1 1
   a) 1;     ; ; ; ;...
           32 5 2 7 2 9 2

Страницы