Математика. Гайворонская С.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
§4. Предел последовательности.
Определение 1. Пусть
a
- некоторая точка на оси и
δ
- некоторое положи-
тельное число. Тогда любой промежуток вида
(
)
,aa
δδ
−+
, будем называть
окрестностью или δ-окрестностью точки
a
.
Утверждение x
∈
-окрестности точки
a
эквивалентно выполнению
неравенства δ≤− а x .
Определение 2. Число а называется пределом последовательности
{
}
n
x
,
если для любого положительного числа
ε
существует номер
N
такой, что
при
nN
>
выполняется неравенство
n
xa
ε
−<
.
С помощью символов это определение можно записать:
(
)
(
)
(
)
εε <−⇒>∀∃>∀ axNnN
n
:0 .
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.
Если последовательность сходится и имеет своим пределом число
a
,
то символически это записывается:
n
xa
→
при
n
→∞
или ax
n
n
=
∞→
lim .
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расхо -
дящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разно-
сти) пределов последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
.
4. Произведение двух сходящихся последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пре -
делов последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
.
5. Частное двух сходящихся последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
при условии
0lim ≠
∞→
n
n
y , есть сходящаяся последовательность, предел которой равен ча-
стному пределов последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
.
6. Если элементы сходящейся последовательности
{
}
n
x
, начиная с некото-
рого номера, удовлетворяют неравенству
n
xb
≥
(
n
xb
≤
), то и предел а этой
последовательности удовлетворяет неравенству ba
≥
( ba
≤
).
0 а-
δ
а а+
δ
                                    9
       §4. Предел последовательности.

Определение 1. Пусть a - некоторая точка на оси и δ - некоторое положи-
тельное число. Тогда любой промежуток вида (a −δ , a +δ ) , будем называть
окрестностью или δ-окрестностью точки a .


                          0   а-δ       а   а+δ

     Утверждение x ∈δ -окрестности точки a эквивалентно выполнению
неравенства x −а ≤δ .

Определение 2. Число а называется пределом последовательности {xn },
если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что
при n >N выполняется неравенство xn −a <ε .
      С помощью символов это определение можно записать:
(∀ε >0)(∃N ): (∀n >N ) ⇒ x n −a <ε .
      Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.
      Если последовательность сходится и имеет своим пределом число a ,
то символически это записывается: xn → a при n → ∞ или lim x n =a .
                                                        →∞
                                                        n

     Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расхо-
дящейся.

              Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {xn } и {yn }
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разно-
сти) пределов последовательностей {xn } и {yn }.
4. Произведение двух сходящихся последовательностей {xn } и {yn } есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пре-
делов последовательностей {xn } и {yn }.
5. Частное двух сходящихся последовательностей {xn } и {yn } при условии
lim y n ≠0 , есть сходящаяся последовательность, предел которой равен ча-
n→ ∞

стному пределов последовательностей {xn } и {yn }.
6. Если элементы сходящейся последовательности {xn }, начиная с некото-
рого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥b ( xn ≤b ), то и предел а этой
последовательности удовлетворяет неравенству a ≥b ( a ≤b ).

Страницы