Математика. Гайворонская С.А. - 7 стр.

                                                       7
Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2,
3,…, n,… поставлено в соответствие вещественное число x n , то множество
вещественных чисел
                                         x1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,...           (1)
    называется числовой последовательностью.
    Числа x1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,... будем называть элементами или членами после-
довательности (1), символ x n – общим элементом последовательности, а
число n – его номером.
    Сокращенно последовательность (1) будем обозначать символом {x n }.
      Например, символ �� �� обозначает последовательность: 1, , , ..., , ...
                         1                                    1 1      1
                                   � n�                                                     2 3        n
    Последовательность считается заданной, если указан способ получе-
ния любого ее элемента.
    Например, формула x n =1 +(−1)n задает последовательность 0, 2, 0, 2,…
    По самому определению последовательность содержит бесконечное
число элементов: любые два ее элемента отличаются, по крайней мере,
номерами.
    Геометрически последовательность изображают на координатной
прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны со-
ответствующим элементам последовательности.

  Арифметические действия над числовыми последовательностями.
      Пусть даны последовательности {x n } и {y n }.
1. Произведением последовательности {x n } на число m назовем последо-
вательность: mx1 , mx 2 , mx3 ,..., mx n ,... , т.е. m ⋅ {x n }={m ⋅ x n }.
2. Алгебраической суммой данных последовательностей называется по-
следовательность: x1 ± y1 , x 2 ± y 2 , x3 ± y 3 ,..., x n ± y n ,... , т.е.
   {x n }±{y n }={x n ± y n }
3. Произведением: x1 ⋅ y1 , x 2 ⋅ y 2 , x3 ⋅ y 3 ,..., x n ⋅ y n ,... , т. е. {x n }⋅ {y n }={x n ⋅ y n }
                    x1 x 2 x3        x             {x } � x �
4. Частным:           ,   ,    , ..., n , ... т. е. n =� n � , y n ≠0.
                    y1 y 2 y 3       yn            {y n } � y n �

Определение 2. Последовательность {x n } называется ограниченной сверху
(снизу), если существует число М (m) такое что, любой элемент этой по-
следовательности удовлетворяет неравенству x n ≤M (x n ≥m ).
     или ∃ M (m ): ∀x n ∈{x n }⇒ x n ≤M (x n ≥m ) .

Определение 3. Последовательность {x n } называется ограниченной, если
она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют числа m и M такие что,
любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству
m ≤x n ≤M .