Математика. Гайворонская С.А. - 8 стр.

                                              8
Определение 4. Последовательность {x n } называется неограниченной, если
для любого положительного числа А существует элемент x n этой последо-
вательности, удовлетворяющий неравенству x n > A , т.е. либо xn >A , либо
xn <−A .

Примеры.
1. {n} ={1, 2, 3, ..., n,...} – ограничена снизу, но не ограничена сверху m =1 , т.е.
xn ≥1 .
2. {−n}={−1, −2, −3, ..., −n,...}- ограничена сверху, но не ограничена снизу
M =−1 , т.е. xn ≤−1 .
    �    1 1   1    �
3. � 1, , , ..., , ...� - ограничена, ∀ xn ∈{xn }: 0 ≤xn ≤1 .
     �   2 3   n �
4.   {−1, −2, −3, −4, −5,..., (−1) ,...} – неограниченная, так как какого бы не было
                              n



число A , среди элементов этой последовательности найдутся такие эле-
менты, что: xn >A .

Определение 5. Последовательность {xn }называется бесконечно большой,
если для любого положительного числа А существует номер N такой, что
для всех элементов последовательности с номерами n >N выполняется не-
равенство xn >A , например, {n} ={1, 2, 3, ..., n,...}, {n2 } ={1, 4, 9, ..., n 2 ,...}.
    Символическая запись определения бесконечно большой последова-
тельности: (∀A >0 )(∃N ): (∀n >N ) ⇒ x n > A .

Определение 6. Последовательность {αn } называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что
для всех элементов последовательности с номерами n >N выполняется не-
равенство α n <ε , например, �� �� , �� 3 �� .
                               1        1
                                   � n�   � n �

    Символическая запись определения бесконечно малой последователь-
ности: (∀ε >0)(∃N ): (∀n >N ) ⇒ α n <ε .

Теорема. Если {xn } – бесконечно большая последовательность, и все ее
                                               � 1�
члены отличны от нуля, то последовательность �         � - бесконечно малая, и
                                                � хn �
обратно, если {α n } - бесконечно малая последовательность и α n ≠0 , то по-
                      � 1�
следовательность �            � - бесконечно большая.
                       � αn �