Математика. Гайворонская С.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Обращаем внимание, что в числителе у всех элементов последователь-
ности стоит 1, а в знаменателе квадрат нечетных чисел. Нечетные числа
записываются с помощью формулы
12
−
n
, где ...,3,2,1
=
n , в итоге полу-
чаем, что общий член последовательности имеет вид:
()
2
12
1
−
=
n
x
n
.
b) ;...
25
6
3;
16
1
3;
9
7
2;
4
1
2;1
Перепишем элементы последовательности в виде неправильных дробей:
;...
25
81
;
16
49
;
9
25
;
4
9
;1 . Очевидно, что в числителе и знаменателе дробей
представлены квадраты чисел, т .е.
;...
5
9
;
4
7
;
3
5
;
2
3
;1
2
2
2
2
2
2
2
2
. В числителе сто-
ят квадраты нечетных чисел:
(
)
2
12 − n , в знаменателе –
2
n , где ...,3,2,1
=
n .
В результате общий член последовательности имеет вид:
(
)
2
2
12
n
n
x
n
−
=
или
2
12
−
=
n
n
x
n
.
3. Пользуясь рекуррентной формулой, найти общий член последователь-
ности:
a) 1
1
=x , 3
1
+=
+ nn
xx .
Учитывая исходные данные, выпишем несколько членов последова-
тельности:
43
1211
=+==
+
xxx
73
2312
=+==
+
xxx
103
3413
=+==
+
xxx
133
4514
=+==
+
xxx
Получаем последовательность:
;...13;10;7;4;1
. Перепишем получен-
ную последовательность: ;...215;212;29;26;23
−
−
−
−
−
, или
;...253;243;233;223;213
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
Тогда общий член последовательности:
23 −= nx
n
.
b) 2
1
=x ,
nn
xx 3
1
=
+
Учитывая исходные данные, выпишем несколько членов последова-
тельности:
3263
1211
⋅====
+
xxx
2
2312
3292183 ⋅=⋅====
+
xxx
3
3413
32272543 ⋅=⋅====
+
xxx
4
4514
328121623 ⋅=⋅====
+
xxx
В итоге получаем последовательность:
;...32;32;32;32;32
43210
⋅⋅⋅⋅⋅ ,
тогда общий член имеет вид:
1
1
3
−
⋅=
n
n
xx . 
                                                        11
  Обращаем внимание, что в числителе у всех элементов последователь-
  ности стоит 1, а в знаменателе квадрат нечетных чисел. Нечетные числа
  записываются с помощью формулы 2n −1 , где n =1, 2, 3, ... , в итоге полу-
                                                                                             1
  чаем, что общий член последовательности имеет вид: x n =                                           .
                                                                                          (2n −1)2
          1       7        1    6
  b) 1; 2 ; 2 ; 3            ; 3 ;...
          4       9       16 25
  Перепишем элементы последовательности в виде неправильных дробей:
     9 25 49 81
  1 ; ; ; ; ;... . Очевидно, что в числителе и знаменателе дробей
     4 9 16 25
                                       32 5 2 7 2 9 2
  представлены квадраты чисел, т.е. 1; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ;... . В числителе сто-
                                       2 3 4 5
  ят квадраты нечетных чисел: (2n −1) , в знаменателе – n 2 , где n =1, 2, 3, ... .
                                     2



  В результате общий член последовательности имеет вид: x n =
                                                                                                 (2n −1)2
                                                                                                         n2
                              2
              2n −1 �
  или x n =��         � .
              �       n   �

3. Пользуясь рекуррентной формулой, найти общий член последователь-
   ности:
   a) x1 =1 , x n +1 =x n +3 .
   Учитывая исходные данные, выпишем несколько членов последова-
   тельности:                  x1+1 =x 2 =x1 +3 =4
                                              x 2+1 =x3 =x 2 +3 =7
                                              x 3+1 =x 4 =x3 +3 =10
                                              x 4+1 =x5 =x 4 +3 =13
  Получаем последовательность: 1; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ;... . Перепишем получен-
  ную последовательность: 3 −2 ; 6 −2 ; 9 −2 ; 12 −2 ; 15 −2 ;... , или
                        3 ⋅1 −2 ; 3 ⋅ 2 −2 ; 3 ⋅ 3 −2 ; 3 ⋅ 4 −2 ; 3 ⋅ 5 −2 ;...
  Тогда общий член последовательности: x n =3n −2 .
  b) x1 =2 , x n+1 =3x n
  Учитывая исходные данные, выпишем несколько членов последова-
  тельности:
                                            x1+1 =x 2 =3 x1 =6 =2 ⋅ 3
                                        x 2 +1 =x 3 =3x 2 =18 =2 ⋅ 9 =2 ⋅ 3 2
                                    x 3+1 =x 4 =3 x3 =54 =2 ⋅ 27 =2 ⋅ 3 3
                                    x 4 +1 =x 5 =3 x 4 =162 =2 ⋅ 81 =2 ⋅ 3 4
  В итоге получаем последовательность:
                                  2 ⋅ 3 0 ; 2 ⋅ 31 ; 2 ⋅ 3 2 ; 2 ⋅ 3 3 ; 2 ⋅ 3 4 ;... ,
  тогда общий член имеет вид: x n =x1 ⋅ 3 n −1 .

Страницы