Математика. Гайворонская С.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Имеет место следующая классификация элементарных функций :
1. Целая рациональная функция или алгебраический многочлен степени
m:
1
01101
()...,0,,,,...,
mm
mmm
PxaxaxaxammZaaa
−
−
=++++≥∈
– любые числа,
коэффициенты,
0
0
a
≠
. Многочлен первой степени называется линейной
функцией.
2. Дробно-рациональная функция:
1
011
1
011
...
()
...
mm
mm
nn
axaxaxa
Rx
bxbxbxb
−
−
−
−
++++
=
++++
.
3. Иррациональная функция – функция, полученная с помощью конечного
числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными
функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся
рациональной, например,
()
fxxx
=+
,
()
2
3
5
2
547
()
384
xx
fxxx
xx
+−
=++
−+
.
4. Трансцендентная функция – не являющаяся рациональной или ирра-
циональной, например,
(
)
sin
fxx
= ,
(
)
sin
fxxx
=+
и т .д.
Функция
(
)
fx называется четной, если
(
)
(
)
fxfxx−=∀,.
Функция
(
)
fx называется нечетной, если
(
)
(
)
fxfxx−=−∀,.
График четной функции симметричен относительно оси ординат , а
нечетной относительно начала координат .
Функция называется периодической в области определения, если су-
ществует такое число 0
≠
T , что:
1. для любых
(
)
(
)
xDTxxDx ∈+∈ , .
2.
(
)
(
)
xfTxf =+ , число
T
называется периодом функции
f
.
Примерами периодических функций, являются тригонометрические
функции
xy sin
=
и
x
y
cos
=
с периодом
π
2
=
T , т .е . при изменении аргу-
мента на число, кратное
π
2 , значение функции остается прежним.
Функция
(
)
fx называется возрастающей (убывающей) в области оп-
ределения, если для любых
1
x и
2
x из области определения функции таких,
что
21
xx <
выполняется
(
)
(
)
21
xfxf <
(
(
)
(
)
21
xfxf >
).Функция
(
)
fx называется
невозрастающей (неубывающей) в области определения, если для любых
1
x и
2
x из области определения функции таких, что
21
xx ≤ выполняется
(
)
(
)
21
xfxf ≤ (
(
)
(
)
21
xfxf ≥ ). Все эти функции называются монотонными.
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X,
если существует число
(
)
mM такое , что для любого Xx
∈
выполняется не-
равенство
(
)
(
)
(
)
mxfMxf ≥≤ .
Функция, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной
на этом множестве . 
                                            13
     Имеет место следующая классификация элементарных функций:
1. Целая рациональная функция или алгебраический многочлен степени
m: P( x) =a0 x m +a1 x m−1 +... +am−1 x +am , m ≥0, m ∈Z , a0 , a1 ,..., am – любые числа,
коэффициенты, a0 ≠0 . Многочлен первой степени называется линейной
функцией.
                                                 a0 x m +a1 x m −1 +... +am −1 x +am
2. Дробно-рациональная функция: R( x) =                                               .
                                                  b0 x n +b1 x n −1 +... +bn −1 x +bn
3. Иррациональная функция – функция, полученная с помощью конечного
числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными
функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся
                                                        5 x 2 +4 x −7
                                                                          (          )
                                                                                      3
рациональной, например, f ( x) = x +x , f ( x) =                      +       5
                                                                                  x +x .
                                                        3 x 2 −8 x +4
4. Трансцендентная функция – не являющаяся рациональной или ирра-
циональной, например, f ( x ) =sin x , f ( x ) =sin x +x и т.д.

     Функция f (x ) называется четной, если f (−x ) = f (x ), ∀ x .
     Функция f (x ) называется нечетной, если f (−x ) =−f (x ), ∀ x .
     График четной функции симметричен относительно оси ординат, а
нечетной относительно начала координат.

     Функция называется периодической в области определения, если су-
ществует такое число T ≠0 , что:
     1. для любых x ∈D(x ) , x +T ∈D(x ) .
     2. f (x +T ) = f (x ) , число T называется периодом функции f .
     Примерами периодических функций, являются тригонометрические
функции y =sin x и y =cos x с периодом T =2π , т.е. при изменении аргу-
мента на число, кратное 2π , значение функции остается прежним.

          Функция f (x ) называется возрастающей (убывающей) в области оп-
ределения, если для любых x1 и x2 из области определения функции таких,
что x1 < x2 выполняется f (x1 ) < f (x2 ) ( f (x1 ) > f (x2 )).Функция f (x ) называется
невозрастающей (неубывающей) в области определения, если для любых
x1 и x2 из области определения функции таких, что x1 ≤ x2 выполняется
 f (x1 ) ≤ f (x2 ) ( f (x1 ) ≥ f (x2 ) ). Все эти функции называются монотонными.

      Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X,
если существует число M (m ) такое, что для любого x ∈ X выполняется не-
равенство f (x ) ≤M ( f (x ) ≥m ) .
      Функция, ограниченная и сверху и снизу, называется ограниченной
на этом множестве.

Страницы