Математика. Гайворонская С.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Предполагается, что функция определена на некотором промежутке слева
(или справа) от предельной точки .
Теорема. Функция
(
)
yfx= имеет в точке а предел тогда и только тогда,
когда в этой точке существует как левосторонний, так и правосторонний
пределы и они равны.
Определение 5. Число b называется пределом функции
(
)
yfx= при
∞
→
x
, если для любого положительного ε, найдется положительное чис -
ло δ такое , что для всех значений аргумента
x
, удовлетворяющих условию
x
δ
>
, выполняется
(
fxb
ε
−<
.
Символическая запись определения:
(
(
(
(
(
00::xXxfxb
εδδεδε
∀>∃=>∀∈<−<
.
Основные свойства пределов .
1. Пусть функции
(
)
fx
и
(
)
gx
заданы на одном и том же множестве Х и
имеют в точке а конечные пределы, равные соответственно b и c, то функ-
ции
(
(
fxgx
±
,
(
(
fxgx
⋅
,
(
(
/
fxgx
также имеют в точке а конечные
пределы, равные соответственно b± c, b⋅ c, b/c (с ≠0) .
2. Пусть функции
(
)
fx,
(
)
gx и
(
)
xh определены в некоторой окрестности
точки а , за исключением, быть может, самой точки а , и функции
(
)
fx
и
(
hx
имеют в этой точке а предел, равный b, т .е. bxhxf
axax
==
→→
)(lim)(lim . Пусть,
кроме того, выполняются неравенства
(
)
)()( xhxgxf ≤≤
. Тогда функция
(
gx
также имеет предел bxg
ax
=
→
)(lim .
3. Предел постоянной равен самой постоянной, т .е. cc
ax
=
→
lim , где
const
c
=
.
4. Предел степени функции равен той же степени предела основания, т .е.
()()
n
xx
n
xx
xfxf
=
→→
00
limlim
§3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция
(
)
fx называется бесконечно малой при
а
x
→
,
если
(
)
lim0
xa
fx
→
=
.
Определение 2. Функция
(
)
fx называется бесконечно большой при
а
x
→
,
если
(
)
lim
xa
fx
→
=∞
.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций .
1. Для выполнения равенства bxf
ax
=
→
)(lim необходимо и достаточно, чтобы
функция bxfx
−
=
)()(
α
была бесконечно малой при
а
x
→
. 
                                            15
Предполагается, что функция определена на некотором промежутке слева
(или справа) от предельной точки.

Теорема. Функция y = f (x) имеет в точке а предел тогда и только тогда,
когда в этой точке существует как левосторонний, так и правосторонний
пределы и они равны.

Определение 5. Число b называется пределом функции y = f (x) при
x → ∞ , если для любого положительного ε, найдется положительное чис-
ло δ такое, что для всех значений аргумента x , удовлетворяющих условию
 x >δ , выполняется f ( x ) −b <ε .
Символическая запись определения:
(∀ε >0 ) (∃δ =δ (ε ) >0 )(∀x ∈ X : x <δ ) : f ( x ) −b <ε .

                             Основные свойства пределов.
1. Пусть функции f (x ) и g(x ) заданы на одном и том же множестве Х и
имеют в точке а конечные пределы, равные соответственно b и c, то функ-
ции f ( x ) ±g ( x ) , f ( x ) ⋅ g ( x ) , f ( x ) / g ( x ) также имеют в точке а конечные
пределы, равные соответственно b±c, b⋅ c, b/c (с≠0) .
2. Пусть функции f (x ) , g(x ) и h(x ) определены в некоторой окрестности
точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и функции f (x ) и
h ( x ) имеют в этой точке а предел, равный b, т.е. lim f ( x) =lim h ( x) =b . Пусть,
                                                           x→ a          x→ a

кроме того, выполняются неравенства                f (x ) ≤ g ( x) ≤h( x) . Тогда функция
g ( x ) также имеет предел lim g ( x) =b .
                           x→ a

3. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. lim c =c , где c =const .
                                                                  x→ a

4. Предел степени функции равен той же степени предела основания, т.е.
                                      n
lim f    n
             (x ) =�� lim f (x )��
x → x0              � x → x0      �

             §3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция f (x ) называется бесконечно малой при x → а ,
если lim  f ( x ) =0 .
     x→ a


Определение 2. Функция f (x ) называется бесконечно большой при x → а ,
если lim  f ( x ) =∞ .
     x→ a



    Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
1. Для выполнения равенства lim
                            x→ a
                                 f ( x) =b необходимо и достаточно, чтобы
функция α ( x) = f ( x) −b была бесконечно малой при x → а .

Страницы