Математика. Гайворонская С.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно
малых функций при
а
x
→
, а также произведение бесконечно малой функ-
ции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями
при
а
x
→
.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций .
Пусть функции
(
)
α
и
(
)
x
β
, заданные для одних и тех же значений
аргументов, являются бесконечно малыми в точке
а
x
=
, тогда:
1. Если 0
)(
)(
lim =
→
x
x
ax
β
α
, то
(
)
α – бесконечно малая более высокого порядка,
чем
(
)
x
β .
2. Если 0
)(
)(
lim ≠=
→
А
x
x
ax
β
α
, где А – число, то
(
)
α
и
(
)
x
β
– бесконечно малые
одного порядка.
3. Если 1
)(
)(
lim =
→
x
x
ax
β
α
, то
(
)
α и
(
)
x
β – эквивалентные бесконечно малые в
точке а , обозначается
(
)
(
)
xx βα ~ .
Первый замечательный предел
0
sin
lim1
x
x
x
→
=
Второй замечательный предел
()
1
0
lim1
x
x
xe
→
+=
или e
n
n
n
=
+
∞→
1
1lim
§4. Примеры решения задач по теме «Предел функции»
I. Простейшие случаи.
1-й случай .
Если предельное значение аргумента принадлежит области определения
функции, то вычисление предела функции сводится к подстановке пре-
дельного значения аргумента в функцию , т . е.
)()(lim afxf
ax
=
→
,
(
)
fDa ∈
.
1. 175161285lim8lim3lim)583lim
2
2
2
3
2
2
2
=++−=++−=++−
→→→→
xxxxx
xxxx
3
(x
2.
5
2
2
3
13
2
1
lim
3
=
+
−
=
+
−
→
x
x
x
2-й случай .
Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не при-
надлежит области определения функции, то возможны варианты:
∞=
∞→
ax
x
lim ∞=
∞→
a
x
x
lim ∞=
→
x
a
x 0
lim 0lim =
∞→
x
a
x
4. ∞=
→
x
x
2
lim
0
                                                     16
 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно
 малых функций при x → а , а также произведение бесконечно малой функ-
 ции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями
 при x → а .

     Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
      Пусть функции α ( x ) и β ( x ) , заданные для одних и тех же значений
 аргументов, являются бесконечно малыми в точке x =а , тогда:
                    α ( x)
 1. Если lim               =0 , то α ( x ) – бесконечно малая более высокого порядка,
             x→ a   β ( x)
 чем β ( x ) .
                   α ( x)
 2. Если lim              = А ≠0 , где А – число, то α ( x ) и β ( x ) – бесконечно малые
             x → a β ( x)


 одного порядка.
                   α ( x)
 3. Если lim              =1 , то α ( x ) и β ( x ) – эквивалентные бесконечно малые в
             x → a β ( x)


 точке а, обозначается α (x ) ~ β (x ) .

                             Первый замечательный предел
                                                    sin x
                                             lim          =1
                                             x→ 0     x

                             Второй замечательный предел
                                                                            n
                                       1
                                                                 � 1�
                              lim (1 +x ) =e или
                                       x                  lim � 1 + �           =e
                              x→ 0                        n→ ∞
                                                               �   n�

           §4. Примеры решения задач по теме «Предел функции»

I. Простейшие случаи.
   1-й случай.
   Если предельное значение аргумента принадлежит области определения
  функции, то вычисление предела функции сводится к подстановке пре-
  дельного значения аргумента в функцию, т. е. lim  f ( x) = f (a ) , a ∈D( f ) .
                                               x→ a

 1. lim (x 3 −3x 2 +8x +5) =lim x 3 −3 lim x 2 +8 lim x +5 =8 −12 +16 +5 =17
    x→ 2                    x→ 2       x→ 2       x→ 2

           x −1 3 −1 2
 2. lim        =    =
    x→ 3   x +2 3 +2 5
  2-й случай.
  Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не при-
 надлежит области определения функции, то возможны варианты:
                                            x                        a                  a
                      lim ax =∞      lim      =∞          lim          =∞        lim      =0
                      x→ ∞           x→ ∞   a             x→ 0       x           x→ ∞   x
         2
 4. lim    =∞
    x→ 0 x

Страницы