Математика. Гайворонская С.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
нулю. Для этого уничтожаем иррациональность в числителе путем умно-
жения числителя и знаменателя на 11 ++ x , затем сокращаем дробь на
x
:
(
)
(
)
() ()()
2
1
11
1
lim
11
11
lim
11
1111
lim
0
0
000
−=
++
−
=
++
−−
=
++
+++−
==
→→→
xxx
x
xx
xx
xxx
Аналогично решаются примеры 10 и 11.
10.
(
)
()()
(
)
()
442lim
44
42
lim
4242
42
lim
0
0
42
lim
0000
−=++−=
−−
++
=
+++−
++
==
+−
→→→→
x
x
xx
xx
xx
x
x
xxxx
11. =
+−
−
=
+−
+−
==
−
−
→→→
)3)(3(
3
lim
)3)(3(
)3)(3(
lim
0
0
3
3
lim
2
333
xxx
xx
xxx
xxxx
x
xx
xxx
)3)(3(
)3(
lim
3
xxx
xx
x
+−
−
=
→
2
1
)3(
lim
3
−=
+
−=
→
xx
x
x
3-й случай .
Если под знаком предела стоит тригонометрическое выражение, то для то-
го, чтобы раскрыть неопределенность
0
0
, необходимо преобразовать вы -
ражение, используя основные тригонометрические формулы.
12.
()
()
=
++−
−
==
−
→→
xxx
x
x
x
xx
2
2
0
3
2
0
coscos1cos1
cos1
lim
0
0
cos1
sin
lim
(
)
(
)
()
()
=
++−
+
−
=
→
xxx
xx
x
2
0
coscos1cos1
cos1cos1
lim
(
)
()
3
2
coscos1
cos1
lim
2
0
=
++
+
→
xx
x
x
III. Первый замечательный предел
1
sin
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
13. 1
3
3sin
lim
0
=
→
x
x
x
14.
()
1
3sin
3
lim
2
2
0
=
−
−
→
x
x
x
15. =
→
x
x
x
5sin
lim
0
Умножим числитель и знаменатель дроби на 5, т .к. у функции x5sin аргу-
мент x5 , для того чтобы применить 1-й замечательный предел, необходи-
мо, чтобы в знаменателе также было x5 :
515
5
5sin
lim5
5
5sin5
lim
00
=⋅===
→→
x
x
x
x
xx
.
16. =
−
→
x
xx
x
3sin6sin
lim
0
используем формулу
c
b
c
a
c
ba
−=
−
, далее решаем аналогично примеру 15. 
                                                                 18
  нулю. Для этого уничтожаем иррациональность в числителе путем умно-
  жения числителя и знаменателя на 1 + x +1 , затем сокращаем дробь на x :
   =
       0
         =lim
                     (
              1 − x +1 1 + x +1  )(
                                =lim
                                              )
                                        1 −x −1
                                                =lim
                                                          −1
                                                                =−
                                                                  1
       0 x→ 0     x 1 + x +1 (   x→ 0
                                          )              (
                                      x 1 + x +1 x → 0 1 + x +1   2       )       (   )
  Аналогично решаются примеры 10 и 11.
  10.
                 x
                         =
                             0
                               =lim
                                              (
                                          x 2 + x +4
                                                        =lim
                                                             ) x 2 + x +4     (       )   (
                                                                          =−lim 2 + x +4 =−4      )
  lim
   x→ 0
          2 − x +4           0  x → 0
                                      (             )(
                                      2 − x +4 2 + x +4  x → 0
                                                                      )
                                                                 4 −x −4    x→ 0




                 3 x −x 0         ( 3 x −x)( 3 x +x)               3 x −x 2
  11. lim                = =lim                        =lim                    =
          x→ 3   x −3      0 x → 3 ( x −3)( 3x +x)       x→ 3
                                                              ( x −3)( 3 x +x)
                      x(3 −x)                   x       1
          =lim                    =−lim               =−
            x→ 3
                 ( x −3)( 3 x +x)      x→ 3
                                            ( 3 x +x)   2

  3-й случай.
  Если под знаком предела стоит тригонометрическое выражение, то для то-
                                                                      0
  го, чтобы раскрыть неопределенность                                   , необходимо преобразовать вы-
                                                                      0
  ражение, используя основные тригонометрические формулы.
                   sin 2 x      0                  1 −cos 2 x
  12. lim                    =     = lim                                =
          x → 0 1 −cos 3 x      0 x → 0 (1 −cos x )(1 +cos x +cos 2 x )

          =lim
                         (1 −cos x )(1 +cos x ) =lim (1 +cos x ) = 2
              x → 0 (1 −cos x )(1 +cos x +cos 2 x )   x → 0 (1 +cos x +cos 2 x ) 3

III. Первый замечательный предел
                                                       sin x          x
                                                  lim        =lim         =1
                                                  x→ 0   x    x → 0 sin x

            sin 3 x
  13. lim            =1
          x→ 03x
               x 2 −3
  14. lim                =1
      x → 0 sin (x 2 −3)

            sin 5 x
  15. lim            =
      x→ 0     x
  Умножим числитель и знаменатель дроби на 5 , т.к. у функции sin 5 x аргу-
  мент 5 x , для того чтобы применить 1-й замечательный предел, необходи-
  мо, чтобы в знаменателе также было 5 x :
              5 sin 5 x          sin 5 x
   =lim                 =5 lim           =5 ⋅1 =5 .
       x→ 0      5x        x → 0   5x

                 sin 6 x −sin 3 x
  16. lim                         =
      x→ 0               x
                                          a −b a b
  используем формулу                          = − , далее решаем аналогично примеру 15.
                                            c  c c

Страницы