Математика. Гайворонская С.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
() () ()
3
3
3
1
0
3
3
1
0
3
31
0
31lim31lim31lim1 exxx
x
x
x
x
x
x
=
+=
+=+==
→→
⋅
⋅
→
∞
В примере № 23 числитель и знаменатель степени домножается на -1.
23.
() ()() ()
=
−+=−+=−+==−
−
−
→
−⋅
−⋅
→→
∞
→
1
1
0
)1(
)1(1
0
1
0
1
0
)(1lim)(1lim)(1lim11lim
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
()
e
ex
x
x
1
)(1lim
1
1
1
0
==
−+=
−
−
−
→
В примере № 24 используется формула
b
b
aa
1
= .
24.
() () () ()
5
5
5
1
0
5
5
1
0
5
51
0
1
00
51lim51lim51lim51lim51lim exxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+=
+=+=+=+
→→
⋅
⋅
→→→
В примере № 25 используется формула
n
n
x
x
−
=
1
, далее выделяется целая
часть.
25.
e
e
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
11
1lim
1
1lim
1
lim1
1
lim
1
1
==
+=
+=
+
==
+
−
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∞
∞→
§ 5. Непрерывность функции. Точки разрыва.
Определение. Функция непрерывна в точке
0
x
, если:
1. Функция определена в некоторой окрестности точки
0
x
, включая саму
эту точку .
2. В точке существует предел, и он равен значению функции в этой точке ,
т .е. )()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
В противном случае функция разрывна или имеет разрыв в точке
0
x
.
Арифметические действия над непрерывными функциями
Пусть функции
(
)
fx
и
(
)
gx
непрерывны в точке
0
x , тогда функции
(
)
(
)
± ,
(
)
(
)
fxgx
⋅ и
(
)
()
fx
gx
, при условии
(
)
0
gx
≠
, также непрерывны в
этой точке .
Все основные элементарные функции непрерывны там , где они оп-
ределены.
Определение. Если функция
(
)
xf не является непрерывной в точке
0
x , то
говорят , что в точке
0
x
функция
(
)
fx разрывна, а точка
0
x
называется точ-
кой разрыва функции
(
)
fx. 
                                                                                     20
                                                               3                                              3
                             1⋅3
                                           �           �1
                                                                     �              1
                                                                                         �
=1∞ =lim (1 +3 x )           x ⋅3   =lim � (1 +3 x ) � 3x          =� lim (1 +3 x )3 x �                          =e 3
         x→ 0                        x→ 0�               �             � x→ 0              �

В примере №23 числитель и знаменатель степени домножается на -1.
                                                                                                                                                                −1

23. lim (1 −x ) x =1∞ =lim (1 +(−x) )x =lim (1 +(−x) )x⋅( −1) =lim�� (1 +(−x) )−x ��
                     1                                     1                                       1⋅( −1)                                              1
                                                                                                                                                                     =
      x→ 0                              x→ 0                       x→ 0                                             x→ 0   �                                �
                                         −1
        �              − �
                        1                             1
      =� lim (1 +(−x) ) x �                    =e −1 =
          � x→ 0            �                          e

                                                                                                             1
В примере №24 используется формула a =a .                                                 b                  b

                                                                                                                                   5                                     5
                                                 1                            1⋅5
                                                                                               �                     1
                                                                                                                               �         �              1
                                                                                                                                                             �
24. lim 1 +5 x =lim (1 +5 x ) =lim (1 +5x ) =lim � (1 +5 x ) �
                 x
                                                 x                            x ⋅5                                   5x                =� lim (1 +5 x )5 x �                 =e 5
    x→ 0        x→ 0           x→ 0          x→ 0                                              �                               �           � x → 0             �

                                                                                                                     −n

В примере №25 используется формула x n =�� ��
                                          1
                                                                                                                               , далее выделяется целая
                                                                                                             � x�
часть.
                                                                                                                                                  −1
             �
            n �
                         n
                                       � n +1 �
                                                       −n
                                                                          �
                                                                         1�
                                                                                              −n
                                                                                                      �         � 1�
                                                                                                                                          n
                                                                                                                                              �               1
25. lim �       �
                                    ∞
                             =1 =lim �          �              =lim � 1 + �                         =� lim � 1 + �                            �        =e −1 =
    n → ∞ n +1
          �       �              n→ ∞
                                        � n �                   n→ ∞
                                                                     �   n�                             � n → ∞�  n�                          �                e
                                                                                                         �                                    �

         §5. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Определение. Функция непрерывна в точке x0 , если:
1. Функция определена в некоторой окрестности точки x0 , включая саму
эту точку.
2. В точке существует предел, и он равен значению функции в этой точке,
т.е. xlim
       →x
          f ( x) = f ( x0 ) .
                 0


         В противном случае функция разрывна или имеет разрыв в точке x0 .

         Арифметические действия над непрерывными функциями
         Пусть функции f ( x ) и g ( x ) непрерывны в точке x0 , тогда функции
                                                     f (x)
 f ( x ) ±g ( x ) , f ( x ) ⋅ g ( x ) и                    , при условии g ( x ) ≠0 , также непрерывны в
                                                     g (x)
этой точке.
      Все основные элементарные функции непрерывны там, где они оп-
ределены.

Определение. Если функция f (x ) не является непрерывной в точке x0 , то
говорят, что в точке x0 функция f (x ) разрывна, а точка x0 называется точ-
кой разрыва функции f (x ) .

Страницы