ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
336
3
3sin
lim3
6
6sin
lim6
3
3sin3
lim
6
6sin6
lim
3sin
lim
6sin
lim
000000
=−=⋅−⋅=−=−=
→→→→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxxx
17. 3
3
cos
1
lim
3
3sin3
lim
3
cos
3sin
lim
3
lim
0000
=⋅==
→→→→
x
x
x
x
x
x
x
xtg
xxxx
18.
3
2
2
sin
2
lim
3
3sin
lim
3
2
3
sin
3
2
2sin32
lim
3
sin
2sin
lim
0000
=⋅=
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
=
→→→→
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xxxx
IV. Неопределенность вида
∞
∞
.
Если при
∞
→
x
или
a
x
→
функция
(
)
xf
представляет отношение двух бес-
конечно больших величин
∞
∞
, то необходимо числитель и знаменатель
дроби разделить на наивысшую степень переменой
x
.
19. =
∞
∞
=
+
−
∞→
xx
x
x
25
13
lim
2
2
делим числитель и знаменатель дроби на
2
x , получим:
5
3
05
03
2
5
1
3
lim
2
=
+
−
=
+
−
=
∞→
x
x
x
, т .к. при
∞
→
x
величины
2
1
x
и
x
2
являются бесконеч -
но малыми.
20.
(
)
()
∞
∞
=
−
−
∞→
60
20
3
2
2
lim
x
x
x
1
2
1
2
1
lim
2
1
2
1
lim
2
1
2
1
lim
60
20
3
60
60
20
3
60
60
20
3
3
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
В числителе за скобки вынесем
3
x , а в знаменателе
x
; сократим на
60
x и
учтем, что при
∞
→
x
величины
3
2
x
и
x
2
являются бесконечно малыми.
21.
2
1
012
01
4
3
12
1
1
lim
4
3
14
1
1
lim
34
1
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∞
∞
=
+
−
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
V. Неопределенность вида
∞
1
. Второй замечательный предел
()
ex
x
x
=+
→
1
0
1lim
или e
n
n
n
=
+
∞→
1
1lim
22.
()
=+
→
x
x
x
1
0
31lim
убедившись, что при указанном изменении аргумента имеем неопределен-
ность вида
∞
1
, далее преобразуем функцию так , чтобы использовать 2-й
замечательный предел. Для этого домножим числитель и знаменатель сте-
пени на 3 и воспользуемся свойством предела
(
)
[
]
(
)
[
]
n
ax
n
ax
xfxf
→→
= limlim :
19
sin 6 x sin 3 x 6 sin 6 x 3 sin 3 x sin 6 x sin 3 x
=lim −lim =lim −lim =6 ⋅ lim −3 ⋅ lim =6 −3 =3
x→ 0 x x → 0 x x → 0 6x x → 0 3 x x → 0 6x x → 0 3x
tg 3 x sin 3 x 3 sin 3 x 1
17. lim =lim =lim ⋅ lim =3
x→ 0 x x → 0 x cos 3 x x → 0 3x x → 0 cos 3x
sin 2 x 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ sin 2 x 2 sin 3 x 2x 2
18. lim =lim = lim ⋅ lim =
x → 0 sin 3 x x → 0 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ sin 3 x 3 x → 0 3x x → 0 sin 2 x 3
∞
IV. Неопределенность вида .
∞
Если при x → ∞ или x → a функция f (x ) представляет отношение двух бес-
∞
конечно больших величин , то необходимо числитель и знаменатель
∞
дроби разделить на наивысшую степень переменой x .
3 x 2 −1 ∞
19. lim = =
x → ∞ 5 x +2 x
2
∞
делим числитель и знаменатель дроби на x 2 , получим:
1
3− 2
=lim x = 3 −0 = 3 , т.к. при x → ∞ величины 1 и 2 являются бесконеч-
x→ ∞ 2 5 +0 5 x2 x
5+
x
но малыми.
20
� 2� �
20 20
� � 2 � � 2�
� x � 1 −x3 � � x 60 � 1 − 3 � � 1− 3 �
3
20. lim
(x 3
−2 )
20
∞
= =lim �
� � �
=lim � x �
=lim �
x �
=1
x→ ∞
(x −2)60 ∞ x→ ∞ � � 2� �
60 x→ ∞
60 � 2�
60 x→ ∞
� 2�
60
� x� 1 − x � � x � 1− � � 1− �
� � � � � x � � x�
В числителе за скобки вынесем x 3 , а в знаменателе x ; сократим на x 60 и
2 2
учтем, что при x → ∞ величины 3
и являются бесконечно малыми.
x x
1 � 1 �
x2 � 1− 2 � x 1−
x −1 ∞ 2
x2 1 −0
� x � 1
21. lim = =lim =lim = =
x→ ∞
4 x 2 +3 ∞ x → ∞ � 3 � x→ ∞
3 2 1 +0 2
4x 2 � 1 + 2 � 2x 1 + 2
� 4x � 4x
V. Неопределенность вида 1∞ . Второй замечательный предел
n
1
� 1�
lim (1 +x )x =e или lim � 1 + � =e
x→ 0 n→ ∞
� n�
1
22. lim
x→
(1 +3x )x =
0
убедившись, что при указанном изменении аргумента имеем неопределен-
ность вида 1∞ , далее преобразуем функцию так, чтобы использовать 2-й
замечательный предел. Для этого домножим числитель и знаменатель сте-
пени на 3 и воспользуемся свойством предела lim
x→ a
[ f (x )] = lim f (x ) :
n
x→ a
n
[ ]
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
