Математика. Гайворонская С.А. - 21 стр.

                                                   21
        Разрывы функций классифицируются следующим образом:
1. Устранимый разрыв.
   Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f (x ) , если
предел в этой точке существует, но в точке x0 функция либо не определе-
на, либо ее значение не равно пределу в этой точке.
                                    x 2 −x
    Например, функция y =                  . Рассмотрим точку x0 =1 . Найдем предел в
                                     x −1
                                                             � x 2 −x
                  x 2 −x        x( x −1)                      �       , x ≠1
этой точке lim
            x → 1 x −1
                         =lim            =1 . Функция y =� x −1              - устраняет раз-
                           x→ 1  x −1                     � x, x =1
                                                           �
рыв.
2. Разрыв 1 рода.
   Точка x0 называется точкой разрыва 1 рода функции f (x ) , если в этой
точке функция f (x ) имеет конечные, но не равные друг другу правый и ле-
вый пределы: lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) .
                       x→ x0 +      x→ x0 −

3. Разрыв 2 рода.
   Точка x0 называется точкой разрыва 2 рода функции f (x ) , если в этой
точке функция f (x ) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних
пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. На-
                                              1
пример, для функции f ( x ) = точка x =0 является точкой разрыва 2 рода,
                                              x
                    1
так как lim           =+∞ , а lim− f ( x ) =−∞ .
         x→ 0   +
                    х         x→ 0



                        Непрерывность функции на отрезке
     Функция f (x ) непрерывна на интервале (a, b ) , если она непрерывна в
каждой точке этого интервала.
     Функция f (x ) непрерывна на сегменте [a, b] , если она непрерывна на
интервале (a, b ) и непрерывна в точке а справа и в точке b слева, т.е.
lim f (x ) = f (a ), lim f (x ) = f (b ) .
x→ a+                    x → b−



                        Свойства непрерывных функций
1. Первая теорема Больцано-Коши (теорема о прохождении функции
через нулевое значение при смене знаков).
Пусть функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка
имеет значения разных знаков, т.е. f (a )⋅ f (b ) <0 . Тогда существует точка
c ∈[a, b ] , в которой f (с ) =0 .
2. Первая теорема Вейерштрасса (теорема об ограниченности непре-
рывной функции на отрезке)
Если функция f (x ) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она огра-
ничена на этом отрезке.